Wykonaj działania. Podaj odpowiednie założenia...- Zadanie 3.58: Prosto do matury 4. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

a) Założenia:

$x^{2} + x - 6 \neq = 0 \land x^{2} + 4 x \neq = 0$

$x^{2} + 3 x - 2 x - 6 \neq = 0 \land x (x + 4) \neq = 0$

$x (x + 3) - 2 (x + 3) \neq = 0 \land x (x + 4) \neq = 0$

$(x + 3) (x - 2) \neq = 0 \land x (x + 4) \neq = 0$

$x \neq = - 3 \land x \neq = 2 \land x \neq = 0 \land x \neq = - 4$

Wykonujemy działanie

$\frac{3 x ^{2} + 12 x}{x ^{2} + x - 6} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4 x} = \frac{3 x ( x + 4 )}{( x + 3 ) ( x - 2 )} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 4 )} = \frac{3 ( x + 2 )}{x + 3}$

b) Założenia:

$x - 2 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land 2 - x \neq = 0 \land x - 10 \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = - 2 \land x \neq = 2 \land x \neq = 10$

Zatem

$x \neq = 2 \land x \neq = - 2 \land x \neq = 10$

Wykonujemy działanie

$(\frac{x}{x - 2} - \frac{x + 5}{x + 2}) : \frac{x - 10}{2 - x} = \frac{x ( x + 2 ) - ( x + 5 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{2 - x}{x - 10} = \frac{x ^{2} + 2 x - x ^{2} - 5 x + 2 x + 10}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{2 - x ^{- 1}}{x - 10} = \frac{- x + 10}{x + 2} \cdot \frac{- 1}{x - 10} = \frac{- x + 10}{x + 2} \cdot \frac{- 1}{x - 10 ^{- 1}} = \frac{1}{x + 2}$

c) Założenia:

$2 x \neq = 0 \land x - 1 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

Wykonujemy działanie

$\frac{3}{2 x} - \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{2 x ( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{4 x ( x + 1 )}{2 x ( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 x ( x - 1 )}{2 x ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x ^{2} - 3 - ( 4 x ^{2} + 4 x ) + ( 2 x ^{2} - 2 x )}{2 x ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x ^{2} - 3 - 4 x ^{2} - 4 x + 2 x ^{2} - 2 x}{2 x ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} - 6 x - 3}{2 x ( x - 1 ) ( x + 1 )}$

Zauważmy, że dla x²-6x-3 mamy

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 36 + 12 = 48$

stąd nic już się nie skróci.

d) Założenia:

$x^{3} - 8 \neq = 0 \land x^{2} - 4 \neq =$

$x^{3} \neq = 8 \land x^{2} \neq = 4$

$x \neq = 2 \land x \neq = - 2$

Wykonujemy działanie

$(\frac{x}{x ^{3} - 8} - \frac{1}{x ^{2} - 4}) (\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1) = \frac{x ( x ^{2} - 4 ) - ( x ^{3} - 8 )}{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{3} - 8 )} \cdot (\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1) = \frac{x ^{3} - 4 x - x ^{3} + 8}{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{3} - 8 )} \cdot (\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + 1) = \frac{8 - 4 x}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x ^{3} - 8 )} \cdot \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{4} = \frac{4 ( 2 - x ) ^{- 1}}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x ^{3} - 8 )} \cdot \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{4} = - \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{( x + 2 ) ( x ^{3} - 8 )} = - \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )} = - \frac{1}{( x + 2 ) ( x - 2 )}$