Wykonajmy rysunek:

---

a) Zauważmy, że

$\left|AE\right|=\left|AD\right|=r$  

zatem

$\left|EC\right|=b-r$

$\left|DB\right|=a-r$

Trójkąty ECO i FCO są przystające ponieważ mają dwie takie same długości boków i oba są prostokątne. Zatem

$\left|FC\right|=b-r$    

Podobnie będzie w przypadku trójkątów FBO oraz DBO. Zatem

$\left|BF\right|=a-r$  

Zachodzi

$\left|BC\right|=\left|BF\right|+\left|FC\right|$  

$c=a-r+b-r$  

$c=a+b-2r\mid +2r-c$  

$2r=a+b-c\mid :2$  

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

c.b.d.u.

---

b) W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu. Zatem

$c=2R$  

Mamy

$2r+2R=2r+c=\dots$  

Korzystamy z równości udowodnionej w poprzednim podpunkcie

$\dots =2\cdot \frac{a+b-c}{2}+c=a+b-c+c=a+b$  

c.b.d.u.