a)

Dane jest równanie, gdzie a jest parametrem. 

Rozwiążmy to równanie ze względu na niewiadomą x. Mamy:

$x+a=2x-3a$    

$-x=-4a\mid :\left(-1\right)$  

$\underline{\underline{x=4a}}$  

Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla a∈R. 

---

b)

Dane jest równanie, gdzie a jest parametrem. 

Rozwiążmy to równanie ze względu na niewiadomą x. Mamy:

$\left(3-a\right)x=4+x$  

$3x-ax-x=4$  

$2x-ax=4$  

$\left(2-a\right)x=4\mid :\left(2-a\right),a\ne 2$  

$x=\frac{4}{2-a},a\ne 2$  

Jeżeli a=2, to otrzymujemy równanie:

$0\cdot x=4$

$0=4$   

czyli równanie sprzeczne. 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla a∈R\{2}, oraz nie ma żadnych rozwiązań dla a=2. 

---

c)

Dane jest równanie, gdzie a jest parametrem. 

Rozwiążmy to równanie ze względu na niewiadomą x. Mamy:

$ax-1=a-x$  

$ax+x=a+1$  

$x\left(a+1\right)=a+1\mid :\left(a+1\right),a\ne -1$  

$x=1,a\ne -1$  

Jeżeli a=-1, to otrzymujemy równanie:

$x\cdot 0=-1+1$  

$0=0$  

czyli równanie tożsamościowe. 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla a∈R\{-1}, oraz ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=-1. 

---

d)

Dane jest równanie, gdzie a jest parametrem. 

Rozwiążmy to równanie ze względu na niewiadomą x. Mamy:

$4ax+a=2a-ax$  

$5ax=a\mid :5a,a\ne 0$  

$x=\frac{1}{5},a\ne 0$  

Jeżeli a=0, to otrzymujemy równanie:

$5\cdot 0\cdot x=0$  

$0=0$  

czyli równanie tożsamościowe. 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla a∈R\{0}, oraz ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=0. 

---

e)

Dane jest równanie, gdzie a jest parametrem. 

Rozwiążmy to równanie ze względu na niewiadomą x. Mamy:

$a^{2}x+1=a^2+ax$  

$a^{2}x-ax=a^2-1$  

$x\left(a^2-a\right)=a^2-1\mid :\left(a^2-a\right),a\ne 0\wedge a\ne 1$  

$x=\frac{a^2-1}{a^2-a}$  

$x=\frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{a\left(a-1\right)}$  

$x=\frac{a+1}{a},a\ne 0\wedge a\ne 1$  

Jeżeli a=0, to otrzymujemy równanie:

$x\cdot 0=0-1$

$0=-1$   

czyli równanie sprzeczne. 

Jeżeli a=1, to otrzymujemy równanie:

$x\cdot 0=1^2-1$  

$0=0$  

czyli równanie tożsamościowe. 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla a∈R\{0, 1}, oraz ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=1, a nie ma żadnych rozwiązań dla a=0.  

---

f)

Dane jest równanie, gdzie a jest parametrem. 

Rozwiążmy to równanie ze względu na niewiadomą x. Mamy:

$a\left(ax-a-1\right)=x-2$  

$a^{2}x-a^2-a=x-2$  

$a^{2}x-x=-2+a^2+a$  

$x\left(a^2-1\right)=a^2+a-2\mid :\left(a^2-1\right),a\ne -1\wedge a\ne 1$  

$x=\frac{a^2+a-2}{a^2-1}$  

$x=\frac{\left(a-1\right)\left(a+2\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$

$x=\frac{a+2}{a-1},a\ne -1\wedge a\ne 1$   

Jeżeli a=1, to otrzymujemy równanie:

$x\cdot 0=1^2+1-2$  

$0=0$  

czyli równanie tożsamościowe. 

Jeżeli a=-1, to otrzymujemy równanie:

$x\cdot 0={\left(-1\right)}^2-1-2$  

$0\ne -2$  

czyli równanie sprzeczne. 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie dla a∈R\{-1, 1}, oraz ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=1, a nie ma żadnych rozwiązań dla a=-1.