a)

Dany jest równoległobok ABCD, gdzie

$A=\left(-2,-1\right),B=\left(4,-1\right),C=\left(3,6\right)$

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Wyznaczmy punkt P przecięcia się przekątnych tego równoległoboku. Mamy: 

$S=\left(\frac{-2+3}{2},\frac{-1+6}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)=\underline{\underline{\left(\frac{1}{2},2\frac{1}{2}\right)}}$   

---

Wyznaczymy równanie prostej postaci y=ax+b zawierającej przekątną AC. 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy tej prostej. Mamy:

$a=\frac{6-\left(-1\right)}{3-\left(-2\right)}=\frac{7}{5}$  

czyli wtedy

$AC:y=\frac{7}{5}x+b$

Podstawiając współrzędne punktu A do równania tej prostej mamy: 

$-1=\frac{7}{5}\cdot \left(-2\right)+b$  

$-1=-\frac{14}{5}+b$  

$b=\frac{9}{5}$  

Otrzymujemy równanie prostej zawierającej przekątną AC tego równoległoboku:

$\underline{\underline{AC:y=\frac{7}{5}x+\frac{9}{5}}}$  

---

Wyznaczymy równanie prostej postaci y=ax+b zawierającej przekątną BD. Podana prosta przechodzi przez punkty B i P.

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy tej prostej. Mamy:

$a=\frac{2\frac{1}{2}-\left(-1\right)}{\frac{1}{2}-4}=\frac{3\frac{1}{2}}{-3\frac{1}{2}}=-1$  

czyli wtedy

$BD:y=-x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu B do równania tej prostej mamy: 

$-1=-4+b$

$b=3$   

Otrzymujemy równanie prostej zawierającej przekątną AC tego równoległoboku:

$\underline{\underline{BD:y=-x+3}}$  

---

---

b)

Dany jest równoległobok ABCD, gdzie

$A=\left(0,0\right),B=\left(6,1\right),C=\left(4,6\right)$

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Wyznaczmy punkt P przecięcia się przekątnych tego równoległoboku. Mamy:

$S=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=\underline{\underline{\left(2,3\right)}}$   

---

Wyznaczymy równanie prostej postaci y=ax+b zawierającej przekątną AC. 

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy tej prostej. Mamy:

$a=\frac{6-0}{4-0}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$  

czyli wtedy

$AC:y=\frac{3}{2}x+b$

Punkt A=(0, 0) jest punktem przecięcia prostej AC z osią OY, czyli b=0. 

Otrzymujemy równanie prostej zawierającej przekątną AC tego równoległoboku:

$\underline{\underline{AC:y=\frac{3}{2}x}}$  

---

Wyznaczymy równanie prostej postaci y=ax+b zawierającej przekątną BD. Podana prosta przechodzi przez punkty B i P.

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy tej prostej. Mamy:

$a=\frac{3-1}{2-6}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$  

czyli wtedy

$BD:y=-\frac{1}{2}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu B do równania tej prostej mamy: 

$1=-\frac{1}{2}\cdot 6+b$

$1=-3+b$  

$b=4$   

Otrzymujemy równanie prostej zawierającej przekątną AC tego równoległoboku:

$\underline{\underline{BD:y=-\frac{1}{2}x+4}}$