a)

Dana jest liczba 

$7^{77}-6\cdot 7^{76}+12\cdot 7^{75}$  

Przekształcamy podaną liczbę i mamy:

$7^{75}\left(7^2-6\cdot 7+12\right)=7^{75}\left(49-42+12\right)=7^{75}\cdot 19$  

Zatem liczba

$7^{77}-6\cdot 7^{76}+12\cdot 7^{75}$  

jest podzielna przez 19. 

---

b)

Dana jest liczba 

${32}^{32}-5^{64}$  

Przekształcamy podaną liczbę i mamy:

${32}^{32}-5^{64}={32}^{32}-{\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{64}={32}^{32}-{25}^{32}={\left({32}^{16}\right)}^2-{\left({25}^{16}\right)}^2=\left({32}^{16}-5^{16}\right)\left({32}^{16}+{25}^{16}\right)=$  

$=\left({32}^8-{25}^8\right)\left({32}^8+{25}^8\right)\left({32}^{16}+{25}^{16}\right)=\left({32}^4-{25}^4\right)\left({32}^4+{25}^4\right)\left({32}^8+{25}^8\right)\left({32}^{16}+{25}^{16}\right)=$  

$=\left({32}^2-{25}^2\right)\left({32}^2+{25}^2\right)\left({32}^4+{25}^4\right)\left({32}^8+{25}^8\right)\left({32}^{16}+{25}^{16}\right)=$

$=\left(32-25\right)\left(32+25\right)\left({32}^2+{25}^2\right)\left({32}^4+{25}^4\right)\left({32}^8+{25}^8\right)\left({32}^{16}+{25}^{16}\right)=$    

$=7\cdot 57\left({32}^2+{25}^2\right)\left({32}^4+{25}^4\right)\left({32}^8+{25}^8\right)\left({32}^{16}+{25}^{16}\right)$  

Zatem liczba

${32}^{32}-5^{64}$  

jest podzielna przez 7.