Wykaż, że jeśli suma trzech liczb naturalnych jest nieparzysta, to suma ich...- Zadanie 1: MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dane są trzy liczby naturalne n₁, n₂, n₃ takie, że ich suma n₁+n₂+n₃ jest liczbą nieparzystą.

Liczby n₁, n₂, n₃ są liczbami nieparzystymi. Czyli są liczbami postaci:

$n_{1} = 2 k_{1} + 1, k_{1} \in N$

$n_{2} = 2 k_{2} + 1, k_{2} \in N$

$n_{3} = 2 k_{3} + 1, k_{3} \in N$

Wyznaczmy sumę kwadratów tych liczb. Mamy:

$n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = (2 k_{1} + 1)^{2} + (2 k_{2} + 1)^{2} + (2 k_{3} + 1)^{2} =$

$= 4 k_{1}^{2} + 4 k_{1} + 1 + 4 k_{2}^{2} + 4 k_{2} + 1 + 4 k_{3}^{2} + 4 k_{3} + 1 =$

$= 2 (2 k_{1}^{2} + 2 k_{1} + 2 k_{2}^{2} + 2 k_{2} + 2 k_{3}^{2} + 2 k_{3} + 1) + 1$

Liczba

$2 k_{1}^{2} + 2 k_{1} + 2 k_{2}^{2} + 2 k_{2} + 2 k_{3}^{2} + 2 k_{3} + 1$

jest liczbą naturalną.

Uzasadniliśmy, że suma kwadratów liczb n₁, n₂, n₃ jest liczbą nieparzystą.

Jedna z liczb n₁, n₂, n₃jest liczbą nieparzystą, a pozostałe są liczbami parzystymi. Czyli są liczbami postaci:

$n_{1} = 2 k_{1} + 1, k_{1} \in N$

$n_{2} = 2 k_{2}, k_{2} \in N$

$n_{3} = 2 k_{3}, k_{3} \in N$

Wyznaczmy sumę kwadratów tych liczb. Mamy:

$n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = (2 k_{1} + 1)^{2} + (2 k_{2})^{2} + (2 k_{3})^{2} = 4 k_{1}^{2} + 4 k_{1} + 1 + 4 k_{2}^{2} + 4 k_{3}^{2} =$

$= 2 (2 k_{1}^{2} + 2 k_{1} + 2 k_{2}^{2} + 2 k_{3}^{2}) + 1$

Liczba

$2 k_{1}^{2} + 2 k_{1} + 2 k_{2}^{2} + 2 k_{3}^{2}$

jest liczbą naturalną.

Uzasadniliśmy, że suma kwadratów liczb n₁, n₂, n₃ jest liczbą nieparzystą.

Szymon Zakrzyk

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste.

Premium

13:42

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Liczby naturalne i całkowite

Premium

17:09

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.