Dany jest walec o promieniu podstawy długości r i wysokości długości h. 

Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe S. Mamy zatem:

$2\pi r^2+2\pi rh=S$

$2\pi rh=S-2\pi r^2\mid :2\pi r,r>0$

$h=\frac{S}{2\pi r}-r$

Założenie:

$r>0\wedge \frac{S}{2\pi r}-r>0\mid \cdot 2\pi r$

$S-2\pi r^2>0$

$-2\pi r^2>-S\mid :\left(-2\pi \right)$

$r^2<\frac{S}{2\pi }$

zatem

$r\in \left(0,\sqrt{\frac{S}{2\pi }}\right)$     

Wyznaczmy objętość tego walca jako zmienną funkcji r. Mamy:

$V\left(r\right)=\pi r^2\cdot \left(\frac{S}{2\pi r}-r\right)=\frac{S}{2}r-\pi r^3,r\in \left(0,\sqrt{\frac{S}{2\pi }}\right)$   

---

Wyznaczmy pochodną funkcji V. Mamy:

$V{}^{\prime }\left(r\right)=\frac{S}{2}-3\pi r^2,r\in \left(0,\sqrt{\frac{S}{2\pi }}\right)$

Wyznaczmy miejsce zerowe pochodnej V'. Mamy:

$\frac{S}{2}-3\pi r^2=0$  

$3\pi r^2=\frac{S}{2}\mid :3\pi$

$r^2=\frac{S}{6\pi }$

$r=-\sqrt{\frac{S}{6\pi }}\vee r=\sqrt{\frac{S}{6\pi }}$    

Zauważmy, że tylko druga liczba należy do dziedziny badanej funkcji. 

Naszkicujmy przybliżony wykres pochodnej. Mamy: 

Zauważmy, że

$V{}^{\prime }\left(r\right)>0\text{dla}r\in \left(0,\sqrt{\frac{S}{6\pi }}\right)$

oraz

$V{}^{\prime }\left(r\right)<0\text{dla}r\in \left(\sqrt{\frac{S}{6\pi }},\sqrt{\frac{S}{2\pi }}\right)$   

Zatem

$V\nearrow \text{dla}r\in (0,\sqrt{\frac{S}{6\pi }}⟩$  

oraz

$V\searrow \text{dla}r\in ⟨\sqrt{\frac{S}{6\pi }},\sqrt{\frac{S}{2\pi }})$  

Zatem objętość walca jest największa dla 

$\underline{\underline{r=\sqrt{\frac{S}{6\pi }}}}$  

---

Wyznaczmy długość wysokości tego walca. Mamy:

$h=\frac{S}{2\pi r}-r=\frac{S}{2\pi r}-\frac{2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{S-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{S-2\pi \cdot \frac{S}{6\pi }}{2\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{6\pi }}}=$

$=\frac{S-\frac{S}{3}}{2\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{6\pi }}}=\frac{\frac{2S}{3}}{2\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{6\pi }}}=\frac{S}{3\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{6\pi }}}\cdot \frac{\sqrt{\frac{S}{6\pi }}}{\sqrt{\frac{S}{6\pi }}}=\underline{\underline{}}$   

$=\frac{S\cdot \sqrt{\frac{S}{6\pi }}}{3\pi \cdot \frac{S}{6\pi }}=\frac{\sqrt{\frac{S}{6\pi }}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{S}{6\pi }}=\sqrt{\frac{4S}{6\pi }}=\underline{\underline{\sqrt{\frac{2S}{3\pi }}}}$