Dany jest walec o promieniu podstawy długości r i wysokości długości h. 

Naszkicujmy przekrój osiowy tego walca: 

Wiedząc, że obwód tego prostokąta ma długość 12 cm mamy:

$4r+2h=12\mid :2$

$2r+h=6$

$h=6-2r$    

Założenie:

$r>0\wedge 6-2r>0$

$-2r>-6\mid :\left(-2\right)$

$r<3$  

więc

$\underline{r\in \left(0,3\right)}$    

Wyznaczmy objętość tego walca jako funkcję zmiennej r. Mamy:

$V\left(r\right)=\pi r^2\left(6-2r\right)=6\pi r^2-2\pi r^3,r\in \left(0,3\right)$  

---

Wyznaczmy pochodną funkcji V. Mamy:

$V{}^{\prime }\left(r\right)=12\pi r-6\pi r^2,r\in \left(0,3\right)$  

Wyznaczmy miejsce zerowe pochodnej. Mamy:

$12\pi r-6\pi r^2=0\mid :6\pi$

$2r-r^2=0$

$r\left(2-r\right)=0$

$r=0\vee r=2$     

Tylko liczba r=2 [cm] należy do dziedziny badanej funkcji. 

Naszkicujmy przybliżony wykres pochodnej V'. Mamy: 

Zauważmy, że

$V{}^{\prime }\left(r\right)>0\text{dla}r\in \left(0,2\right)$  

oraz

$V{}^{\prime }\left(r\right)<0\text{dla}r\in \left(2,3\right)$  

Zatem

$V\nearrow \text{dla}r\in (0,2⟩$  

oraz

$V\searrow \text{dla}r\in ⟨2,3)$  

Zatem funkcja V osiąga maksimum w punkcie r=2 [cm]. 

---

Wyznaczmy długość wysokości. Mamy:

$h=6-2r=6-2\cdot 2=2\left[\text{cm}\right]$  

Odp. Objętość walca jest największa wtedy, gdy promień podstawy ma długość 2 cm i wysokość ma długość 2 cm.