Dany jest walec o promieniu podstawy długości r i wysokości długości h. 

Naszkicujmy jego przekrój osiowy:

Objętość tego walca wynosi V. Mamy stąd: 

$\pi r^{2}h=V\mid :\pi r^2$

$h=\frac{V}{\pi r^2}$   

Wyznaczmy pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję zmiennej r. Mamy:

$P\left(r\right)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r},r\in \left(0,\infty \right)$  

---

Wyznaczmy pochodną funkcji P. Mamy:

$P{}^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{2V}{r^2},r\in \left(0,\infty \right)$  

Wyznaczmy miejsce zerowe pochodnej P'. Mamy:

$4\pi r-\frac{2V}{r^2}=0\mid \cdot r^2$

$4\pi r^3-2V=0$

$4\pi r^3=2V\mid :4\pi$

$r^3=\frac{V}{2\pi }$    

$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$   

Zauważmy, że

$P{}^{\prime }\left(r\right)<0\text{dla}r\in \left(0,\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\right)$

oraz

$P{}^{\prime }\left(r\right)>0\text{dla}r\in \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }},\infty \right)$

Zatem  

$P\searrow \text{dla}r\in (0,\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}⟩$  

oraz

$P\nearrow \text{dla}r\in ⟨\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }},\infty )$  

Czyli pole powierzchni całkowitej tego walca jest najmniejsze dla

$\underline{r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}}$  

---

Wyznaczmy długość wysokości tego walca. Mamy: 

$h=\frac{V}{\pi {\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\right)}^2}=\frac{V}{\pi \cdot \sqrt[3]{\frac{V^2}{4{\pi }^2}}}=\sqrt[3]{\frac{V^3}{{\pi }^3\cdot \frac{V^2}{4{\pi }^2}}}=\underline{\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi }}}$  

Zauważmy, że

$2r=2\cdot \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}=\sqrt[3]{\frac{8V}{2\pi }}=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi }}=h$  

Zatem przekrój osiowy tego walca jest kwadratem.

co kończy dowód.