a) Oznaczmy:

A - "żadne z jaj nie zostanie pomalowane na żółto"

Sposobów wyboru trzech różnych kolorów spośród sześciu jest tyle, ile 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

$N=\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}}=6\cdot 5\cdot 4=120$  

Sposobów wyboru trzech różnych kolorów (bez koloru żółtego) jest tyle, ile 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

$n_A=\frac{5!}{\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}}=5\cdot 4\cdot 3=60$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=\frac{n_A}{N}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$  

---

b) Oznaczmy:

B - "jajo gęsie zostanie pomalowane na czerwono"

Sposobów wyboru trzech różnych kolorów spośród sześciu jest tyle, ile 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

$N=\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}}=6\cdot 5\cdot 4=120$  

Jajo gęsie ma być czerwone. Należy jeszcze wybrać dwa kolory dla pozostałych jaj. Sposobów wyboru dwóch różnych kolorów (bez koloru czerwonego) jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

$n_B=\frac{5!}{\left(5-2\right)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}}=5\cdot 4=20$  

Wobec tego:

$P\left(B\right)=\frac{n_B}{N}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$  

---

c) Oznaczmy:

C - "jajo kurze zostanie pomalowane na żółto lub czerwono, a jajo kacze - na niebiesko lub zielono"

Sposobów wyboru trzech różnych kolorów spośród sześciu jest tyle, ile 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

$N=\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}}=6\cdot 5\cdot 4=120$  

Kolor jaja kurzego możemy wybrać na 2 sposoby (żółty lub czerwony), jaja kaczego - na 2 sposoby (niebieski lub zielony), jaja gęsiego - na 4 sposoby (bez kolorów wybranych wcześniej).

$n_C=2\cdot 2\cdot 4=16$  

Wobec tego:

$P\left(C\right)=\frac{n_C}{N}=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}$