Dla jakiej wartości parametru...- Zadanie 9: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważamy funkcję

$f (x) = {\frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4}, lo g_{2} a x + lo g_{2} a x, gdy x < 2 gdy x \geq 2$

Założenie:

pierwiastek kwadratowy musi być określony z liczby nieujemnej, czyli

$a \geq 0$

Zauważmy, że

$\frac{x ^{2} - x - 2 ( Δ = 9 , x _{1} = - 1 , x _{2} = 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{( x + 1 ) ( x - 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 1}{x + 2}$
$lo g_{2} a x + lo g_{2} a x = lo g_{2} (a a x x) = lo g_{2} a^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} =$
$= lo g_{2} a^{\frac{3}{2}} + lo g_{2} x^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} a + \frac{3}{2} lo g_{2} x$

czyli po uproszczeniu wzór funkcji f jest postaci

$f (x) = {\frac{x + 1}{x + 2}, \frac{3}{2} lo g_{2} a + \frac{3}{2} lo g_{2} x, gdy x < 2 gdy x \geq 2$

Funkcja f jest ciągła w każdym z przedziałów otwartych

$(- \infty, 2), (2, + \infty)$

(ponieważ funkcje wymierne i logarytmiczne są ciągłe w swoich dziedzinach).

Zatem żeby funkcja f była ciągła w zbiorze R wystarczy tak dobrać wartość parametru a, by funkcja f była ciągła w punkcie granicznym x=2.

Obliczamy granice jednostronne funkcji f w punkcie x=2

$x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{-} lim \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4}$
$x \to 2^{+} lim f (x) = x \to 2^{+} lim (\frac{3}{2} lo g_{2} a + \frac{3}{2} lo g_{2} x) = [\frac{3}{2} lo g_{2} a + \frac{3}{2} lo g_{2} 2] = \frac{3}{2} lo g_{2} a + \frac{3}{2}$

Żeby funkcja f była ciągła w punkcie 4, musi istnieć granica właściwa w tym punkcie, czyli granice jednostronne muszą być równe.

Skąd mamy

$x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2^{+} lim f (x)$

$\frac{3}{4} = \frac{3}{2} lo g_{2} a + \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{4} = \frac{3}{2} lo g_{2} a$

$- \frac{1}{2} = lo g_{2} a$

czyli

$a = \frac{1}{2}$

zatem dla a=¹/₂ istnieje granica właściwa funkcji f w punkcie 2, równa ³/₄

$x \to 2 lim f (x) = \frac{3}{4}$

Zauważmy, że dla

$a = \frac{1}{2}$

mamy

$f (2) = \frac{3}{2} lo g_{2} \frac{1}{2} + \frac{3}{2} lo g_{2} 2 = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) + \frac{3}{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = x \to 2 l i m f (x)$