Rozważamy funkcję daną wzorem 

$f\left(x\right)=2x^3+3x^2-12x+2$

Wyznaczymy najmniejsza i największą wartość tej funkcji w przedziale 

$⟨-1,2⟩$

---

Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (-1,2). 

Wyznaczamy pochodną tej funkcji 

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(2x^3+3x^2-12x+2\right)}^{\prime }={\left(2x^3\right)}^{\prime }+{\left(3x^2\right)}^{\prime }-{\left(12x\right)}^{\prime }+{\left(2\right)}^{\prime }=6x^2+6x-12$

czyli 

$f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+6x-12,x\in \left(-1,2\right)$

---

Wyznaczamy punkty krytyczne tej funkcji 

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$6x^2+6x-12=0$

$\Delta =6^2-4\cdot 6\cdot \left(-12\right)=36+288=324$

$\sqrt{\Delta }=18$

$x_1=\frac{-6-18}{2\cdot 6}=-\frac{24}{12}=-2\underset{\notin (-1,2)}{}$

$x_2=\frac{-6+18}{2\cdot 6}=\frac{12}{12}=1$

czyli funkcja f ma jeden punkt krytyczny: x=1. 

---

Porównujemy liczby 

$f\left(-1\right),f\left(1\right),f\left(2\right)$

otrzymujemy 

$f\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3+3\cdot {\left(-1\right)}^2-12\cdot \left(-1\right)+2=-2+3+12+2=15$

$f\left(1\right)=2+3-12+2=-5$

$f\left(2\right)=2\cdot 2^3+3\cdot 2^2-12\cdot 2+2=16+12-24+2=6$

czyli funkcja f ma przyjmuje wartość najmniejszą równą -5 dla argumentu 1 i wartość największą równą 15 dla argumentu -1

$f_{\left(\min \right)}\left(1\right)=-5$

$f_{\left(\max \right)}\left(-1\right)=15$

---

Obliczamy różnicę między największą i najmniejszą wartością funkcji f

$15-\left(-5\right)=15+5=20$

---

Odp.C.