Zapisujemy funkcję f, która w zależności od ceny produktu c [zł], przyporządkowuje dzienny dochód uzyskany ze sprzedaży s produktów po c złotych 

$f\left(c\right)=\left(-2c^2+48c\right)\cdot c=-2c^3+48c^2,5⩽c⩽20$

Wyznaczymy wartość największą tej funkcji (o ile istnieje).

---

Funkcja f jest różniczkowalna w przedziale otwartym (5,20), wyznaczamy pochodną tej funkcji (na krańcach przedziału określoności można mówić co najwyżej o pochodnych jednostronnych)

$f^{\prime }\left(c\right)={\left(-2c^3+48c^2\right)}^{\prime }={\left(-2c^3\right)}^{\prime }+{\left(48c^2\right)}^{\prime }=-6c^2+96c$

czyli 

$f^{\prime }\left(c\right)=-6c^2+96c,5⩽c⩽20$

---

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f

$f{}^{\prime }\left(c\right)=0$

$-6c^2+96c=0$

$-6c\left(c-16\right)=0$

$c=0_{\notin \left(5,20\right)}\vee c-16=0$

$c=16$

czyli funkcja f ma jeden punkt krytyczny: 16. 

---

Aby wyznaczyć wartość największą funkcji s, porównujemy wartości funkcji s na krańcach przedziału określoności i w punkcie krytycznym

$f\left(5\right),f\left(16\right),f\left(20\right)$

Obliczamy 

$f\left(5\right)=-2\cdot 5^3+48\cdot 5^2=-2\cdot 125+48\cdot 25=-250+1200=950$

$f\left(16\right)=-2\cdot 16^3+48\cdot 16^2=-2\cdot 4096+48\cdot 256=-8192+12288=4096$

$f\left(20\right)=-2\cdot 20^3+48\cdot 20^2=-2\cdot 8000+48\cdot 400=-16000+19200=3200$

czyli funkcja s osiąga wartość największą równą 4096 dla argumentu 16. 

Tym samym, przy cenie produktu wynoszącej 16 zł, kwota uzyskana ze sprzedaży produktów jest największa i wynosi 4096 zł. 

---

Odp. C.