Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku pomocniczym

---

Z treści zadania wiemy, że punkt P należy do wykresu funkcji

$f\left(x\right)=x^2+1$

i współrzędne tego punktu możemy zapisać w postaci 

$P=\left(t,t^2+1\right),\text{gdzie}t\in \left(0,1\right)$

---

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.

Wyznaczamy pochodną funkcji f 

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^2+1\right)}^{\prime }=2x$

Wyznaczamy pochodną funkcji f w punkcie P

$f^{\prime }\left(t\right)=2t$

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P

$y=f^{\prime }\left(t\right)\left(x-t\right)+f\left(t\right)$

$y=2t\left(x-t\right)+t^2+1$

$y=2tx-2t^2+t^2+1$

$y=2tx-t^2+1$

---

Wyznaczamy współrzędne punktu C (punktu przecięcia stycznej z osią y), wstawiając x=0 mamy 

$y=2t\cdot 0-t^2+1=-t^2+1$

czyli 

$C=\left(0,-t^2+1\right)$ 

---

Wyznaczamy współrzędne punktu B (punktu przecięcia stycznej z prostą x=1), wstawiając x=1 do wzoru stycznej mamy 

$y=2t\cdot 1-t^2+1=2t-t^2+1=-t^2+2t+1$

czyli 

$B=\left(1,-t^2+2t+1\right)$

---

Wyznaczamy długości podstaw i wysokość trapezu prostokątnego ABCO 

$\left|AO\right|=1$

$\left|CO\right|=\text{|}\underset{>0}{\underbrace{-t^2+1}}\text{|}=-t^2+1$

$\left|AB\right|=\text{|}\underset{>0}{\underbrace{-t^2+2t+1}}\text{|}=-t^2+2t+1$

(wyrażenia wewnątrz wartości bezwzględnej są dodatnie, ponieważ rozważamy t ∈ (0,1))

---

Wyznaczamy pole trapezu ABCO 

$P=\frac{\left(\left|CO\right|+\left|AB\right|\right)\cdot \left|AO\right|}{2}=\frac{\left(-t^2+1+-t^2+2t+1\right)\cdot 1}{2}=$

$=\frac{-2t^2+2t+2}{2}=-t^2+t+1$

---

Zapisujemy funkcję P, która zmiennej t przyporządkowuje pole trapezu ABCO 

$P\left(t\right)=-t^2+t+1,t\in \left(0,1\right)$

Wyznaczymy wartość największą tej funkcji.

---

Funkcja kwadratowa P ma ujemny współczynnik przy t², czyli ta funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku (jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka należy do rozważanego przedziału). 

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka

$t_w=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\in \left(0,1\right)$

pierwsza współrzędna wierzchołka należy do rozważanego przedziału, czyli funkcja P przyjmuje wartość największą dla 

$t=\frac{1}{2}$

wtedy 

$t^2+1={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}$

czyli dany trapez ma możliwie największe pole dla

$\underline{\underline{P=\left(\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right)}}$