Korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu zapisujemy podane logarytmy w postaci logarytmu o podstawie 2:

• ${\log }_{0,2}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}0,2}=\frac{3}{{\log }_2\left(\frac{1}{5}\right)}=\frac{3}{{\log }_3\left(5^{-1}\right)}=\frac{3}{-{\log }_{3}5}=-\frac{3}{{\log }_{3}5}$  
• ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{2}=\frac{{\log }_2\frac{1}{2}}{{\log }_2\sqrt{5}}=\frac{-1}{{\log }_2{5}^{\frac{1}{2}}}=-\frac{1}{\frac{1}{2}{\log }_{2}5}=-\frac{2}{{\log }_{2}5}$  
• ${\log }_{\sqrt[3]{4}}25=\frac{{\log }_{2}25}{{\log }_2\sqrt[3]{2^2}}=\frac{{\log }_2{5}^2}{{\log }_2{2}^{\frac{2}{3}}}=\frac{2{\log }_{2}5}{\frac{2}{3}}=3{\log }_{2}5$  

---

Wówczas dostajemy 

${\log }_{0,2}8\cdot {\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{2}\cdot {\log }_{\sqrt[3]{4}}25\cdot {\log }_2\sqrt[3]{5}=$  

$=-\frac{3}{{\log }_{3}5}\cdot \left(-\frac{2}{{\log }_{2}5}\right)\cdot 3{\log }_{2}5\cdot {\log }_2{5}^{\frac{1}{3}}=$  

$=\frac{6}{{\left({\log }_{3}5\right)}^2}\cdot 3{\log }_{2}5\cdot \frac{1}{3}\cdot {\log }_{2}5=$  

$=\frac{6}{{\left({\log }_{3}5\right)}^2}\cdot {\left({\log }_{2}5\right)}^2=6\in {\mathbb{Z}}_{+}$  

wartość wyrażenia jest więc liczbą całkowitą dodatnią. 

---

Odp. Poprawna odpowiedź to C.