Z treści zadania wiemy, że współczynnik pH określony jest następująco: 

współczynnik pH = -log s

gdzie s oznacza stężenie jonów wodorowych w danym roztworze (w molach/dm³).

---

a)

I.

Oznaczymy przez s stężenie jonów wodorowych w wodzie destylowanej.

Woda destylowana ma współczynnik pH równy 7, czyli zgodnie ze wzorem zachodzi 

$7=-\log s$  

^{(liczbę 7 zapisujemy w postaci logarytmu dziesiętnego i otrzymujemy)} 

$\log {10}^7=-\log s$  

$\log {10}^7=\log s^{-1}$  

z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy, że logarytmy dwóch liczb są równe wtedy i tylko wtedy, gdy te liczby są równe, czyli 

${10}^7=s^{-1}$  

${10}^7=\frac{1}{s}$  

więc

$\underline{\underline{s={10}^{-7}\left[\frac{\text{mol}}{{\text{dm}}^3}\right]}}$  

II.

Oznaczymy przez x stężenie jonów wodorowych w roztworze piorącym.

Roztwór piorący ma współczynnik pH równy 10, czyli zgodnie ze wzorem zachodzi 

$10=-\log x$  

^{(liczbę 10 zapisujemy w postaci logarytmu dziesiętnego)} 

$\log {10}^{10}=-\log x$  

$\log {10}^{10}=\log x^{-1}$  

z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy, że

${10}^{10}=x^{-1}$  

${10}^{10}=\frac{1}{x}$  

więc

$\underline{\underline{x={10}^{-10}\left[\frac{\text{mol}}{{\text{dm}}^3}\right]}}$  

---

b)

I.

Oznaczymy przez x stężenie jonów wodorowych w kawie.

Kawa ma współczynnik pH równy 5, czyli zgodnie ze wzorem zachodzi 

$5=-\log x$  

$\log {10}^5=-\log x$  

$\log {10}^5=\log x^{-1}$  

z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy, że 

${10}^5=x^{-1}$  

${10}^5=\frac{1}{x}$  

$\underline{\underline{x={10}^{-5}\left[\frac{\text{mol}}{{\text{dm}}^3}\right]}}$  

II.

Oznaczymy przez y stężenie jonów wodorowych w soku z cytryny. 

Sok z cytryny ma współczynnik pH równy 2,5, czyli zgodnie ze wzorem zachodzi 

$2,5=-\log y$  

$\log {10}^{2,5}=-\log y$  

$\log {10}^{2,5}=\log y^{-1}$  

z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy, że

${10}^{2,5}=y^{-1}$  

${10}^{2,5}=\frac{1}{y}$  

$\underline{\underline{y={10}^{-2,5}\left[\frac{\text{mol}}{{\text{dm}}^3}\right]}}$  

Obliczamy stosunek jonów wodorowych w kawie i soku z cytryny (korzystamy z praw działań na potęgach):

$\frac{x}{y}=\frac{{10}^{-5}}{{10}^{-2,5}}={10}^{-5-\left(-2,5\right)}={10}^{-2,5}$  

---

c)

Oznaczmy przez s>0 stężenie jonów wodorowych w pewnej substancji. 

Wówczas współczynnik pH tej substancji jest równy 

$-\log s=\log s^{-1}=\log \frac{1}{s}$  

Zauważmy, że im większa kwasowość roztworu (im większe stężenie s jonów wodorowych) to wartość ułamka

$\frac{1}{s}$  

jest coraz mniejsza (dąży do zera). Funkcja logarytmiczna y = log x jest rosnąca (podstawą logarytmu dziesiętnego jest liczba większa od 1), czyli dla coraz mniejszych argumentów będzie przyjmować mniejsze wartości. 

Zatem im większa wartość s stężenia jonów wodorowych, tym wartość ułamka ¹/_s jest coraz mniejsza i wyrażenie 

$\log \frac{1}{s}$  

przyjmuje coraz mniejsze wartości. 

Tym samym im większa kwasowość roztworu, tym niższy jego współczynnik pH. 

c.n.d.