a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=x^3+3x^2-4,x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że aby określić liczbę rozwiązań równania 

$f\left(x\right)=m$  

musimy najpierw naszkicować przybliżony wykres funkcji f. 

W tym celu wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne oraz granice na krańcach przedziału określoności. 

Wyznaczamy pochodną funkcji f

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w zbiorze R, wyznaczamy pochodną tej funkcji 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^3+3x^2-4\right){}^{\prime }=$

$=\left(x^3\right){}^{\prime }+\left(3x^2\right){}^{\prime }-\left(4\right){}^{\prime }=$  

$=3x^2+3\cdot 2x-0=$  

$=3x^2+6x$   

Zatem

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$

$3x^2+6x=0\mid :3$

$x^2+2x=0$  

$x\left(x+2\right)=0$  

$x=0\vee x+2=0$  

$x=-2$   

Badamy znak pochodnej. 

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f'(x)=3x²+6x

korzystając z rysunku dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff x\in \left(-2,0\right)$   

Tworzymy tabelkę: 

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$\nearrow$	maksimum lokalne	$\searrow$	minimum lokalne	$\nearrow$

Symbol ↗ (odpowiednio ↘) oznacza, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio malejąca) w danym przedziale. 

Funkcja f w lewostronnym sąsiedztwie punktu -2 jest rosnąca, a w prawostronnym sąsiedztwie malejąca, czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne właściwe. Obliczamy

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2-4=-8+3\cdot 4-4=0$   

Funkcja f w lewostronnym sąsiedztwie punktu 0 jest rosnąca, a w prawostronnym sąsiedztwie malejąca, czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne właściwe. Obliczamy 

$f\left(0\right)=0-4=-4$  

Ponadto 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2-4\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^3}\right)\right)=\left[-\infty \cdot 1\right]=-\infty$  

analogicznie 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$  

Łącząc powyższe informacje szkicujemy przybliżony wykres funkcji y=f(x)

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

• równanie f(x)=m ma trzy rozwiązania dla m ∈ (-4,0);
• równanie f(x)=m ma dwa rozwiązania dla m ∈ {-4,0};
• równanie f(x)=m ma jedno rozwiązanie dla m ∈ (-oo, -4) U (0,+oo). 

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x-1},x\ne 1$  

Zauważmy, że aby określić liczbę rozwiązań równania 

$f\left(x\right)=m$  

musimy najpierw naszkicować przybliżony wykres funkcji f. 

W tym celu wyznaczymy maksymalne przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne oraz granice na krańcach przedziału określoności. 

Wyznaczamy pochodną funkcji f

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w zbiorze R/{1}, wyznaczamy pochodną tej funkcji 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{x^2}{x-1}\right){}^{\prime }=$

$=\frac{\left(x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(x-1\right)-x^2\cdot \left(x-1\right){}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}=$  

$=\frac{2x\cdot \left(x-1\right)-x^2\cdot 1}{{\left(x-1\right)}^2}=$  

$=\frac{2x^2-2x-x^2}{{\left(x-1\right)}^2}=$  

$=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$  

Zatem

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2},x\ne 1$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$

$\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}=0\mid \cdot {\left(x-1\right)}^2$  

$x^2-2x=0$  

$x\left(x-2\right)=0$  

$x=0\vee x-2=0$  

$x=2$   

Badamy znak pochodnej. 

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}>0\mid \cdot {\left(x-1\right)}^2>0$  

$x^2-2x>0$  

$x\left(x-2\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

Zatem uwzględniając dziedzinę pochodnej dostajemy, że 

• $f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  
• $f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff x\in \left(0,1\right)\cup \left(1,2\right)$   

Tworzymy tabelkę: 

$x$	$\left(-\infty ,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$\left(1,2\right)$	$2$	$\left(2,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$\nearrow$	maksimum lokalne	$\searrow$	$\searrow$	minimum lokalne	$\nearrow$

Symbol ↗ (odpowiednio ↘) oznacza, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio malejąca) w danym przedziale. 

Funkcja f w lewostronnym sąsiedztwie punktu 0 jest rosnąca, a w prawostronnym sąsiedztwie malejąca, czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne właściwe. Obliczamy

$f\left(0\right)=\frac{0}{0-1}=0$   

Funkcja f w lewostronnym sąsiedztwie punktu 2 jest rosnąca, a w prawostronnym sąsiedztwie malejąca, czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne właściwe. Obliczamy 

$f\left(2\right)=\frac{2^2}{2-1}=4$  

Ponadto 

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{1-\frac{1}{x}}=\left[-\frac{\infty }{1}\right]=-\infty$  

analogicznie 

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$  

oraz 

• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2}{x-1}=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty$  
• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x-1}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty$  

czyli prosta x=1 jest asymptotą pionową wykresu funkcji f. 

Łącząc powyższe informacje szkicujemy przybliżony wykres funkcji y=f(x)

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

• równanie f(x)=m ma dwa rozwiązania dla m ∈ (-oo, 0) U (4, +oo);
• równanie f(x)=m ma jedno rozwiązanie dla m ∈ {0, 4};
• równie f(x)=m nie ma rozwiązania dla m ∈ (0,4).