a)

Wyznaczamy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^6+5x-4,x\in \mathbb{R}$  

otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(-\frac{1}{2}{x}^6+5x-4\right){}^{\prime }=$  

$=\left(-\frac{1}{2}{x}^6\right){}^{\prime }+\left(5x\right){}^{\prime }-\left(4\right){}^{\prime }=$  

$=-\frac{1}{2}{\left(x^6\right)}^{\prime }+5{\left(x\right)}^{\prime }-0=$

$=-\frac{1}{2}\cdot 6x^5+5\cdot 1=$

$=-3x^5+5$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-3x^5+5,x\in \mathbb{R}$  

---

b)

Wyznaczamy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=8\sqrt{x}-\frac{7}{x},x>0$  

otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(8\sqrt{x}-\frac{7}{x}\right){}^{\prime }=$  

$=\left(8\sqrt{x}\right){}^{\prime }-\left(\frac{7}{x}\right){}^{\prime }=$  

$=8{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }-7{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=$

$8\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }-7\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=$

$=8\cdot \frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{7}{x^2}=$

$=4\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{7}{x^2}=$  

$=\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{7}{x^2}$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{7}{x^2},x>0$  

---

c)

Wyznaczamy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\frac{3x^2}{5x-2},x\ne \frac{2}{5}$  

otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{3x^2}{5x-2}\right){}^{\prime }=$  

$=\frac{\left(3x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(5x-2\right)-3x^2\cdot \left(5x-2\right){}^{\prime }}{{\left(5x-2\right)}^2}=$  

$=\frac{6x\cdot \left(5x-2\right)-3x^2\cdot 5}{{\left(5x-2\right)}^2}=$  

$=\frac{30x^2-12x-15x^2}{{\left(5x-2\right)}^2}=$  

$=\frac{15x^2-12x}{{\left(5x-2\right)}^2}$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{15x^2-12x}{{\left(5x-2\right)}^2},x\ne \frac{2}{5}$  

---

d)

Wyznaczamy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\sqrt{3x^2-\frac{5}{x^2}},x\ge \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$  

otrzymujemy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\sqrt{3x^2-\frac{5}{x^2}}\right){}^{\prime }=$  

$=\left({\left(3x^2-\frac{5}{x^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right){}^{\prime }=$  

$=\left({\left(\frac{3x^4-5}{x^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\right){}^{\prime }$  

$=\underset{\text{pochodna funkcji zewnętrznej}}{\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{3x^4-5}{x^2}\right)}^{-\frac{1}{2}}}\cdot \underset{\text{pochodna funkcji wewnętrznej}}{\left(\frac{3x^4-5}{x^2}\right){}^{\prime }}=$  

$=\frac{1}{2\sqrt{\frac{3x^4-5}{x^2}}}\cdot \frac{\left(3x^4-5\right){}^{\prime }\cdot x^2-\left(3x^4-5\right)\cdot \left(x^2\right){}^{\prime }}{x^4}=$  

$=\frac{1}{\frac{2}{|x|}\sqrt{3x^4-5}}\cdot \frac{12x^3\cdot x^2-\left(3x^4-5\right)\cdot 2x}{x^4}=$  

$=\frac{1}{\frac{2}{x}\sqrt{3x^4-5}}\cdot \frac{12x^5-6x^5+10x}{x^4}=$  

$=\frac{6x^5+10x}{\frac{2}{x}\sqrt{3x^4-5}\cdot x^4}$  

$=\frac{2x\left(3x^4+5\right)}{2x^3\sqrt{3x^4-5}}=$  

$=\frac{3x^4+5}{x^2\sqrt{3x^4-5}}$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x^4+5}{x^2\sqrt{3x^4-5}},x\ge \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$  

---

e)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\left(5x-2\right)}^6\cdot \left(3x+4\right),x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że funkcję f możemy zapisać jako 

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)$  

gdzie 

• $g\left(x\right)={\left(5x-2\right)}^6$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)=\left({\left(5x-2\right)}^6\right){}^{\prime }=6{\left(5x-2\right)}^5\cdot \left(5x-2\right){}^{\prime }=6{\left(5x-2\right)}^5\cdot 5=30{\left(5x-2\right)}^5$  

• $h\left(x\right)=3x+4$  

$h{}^{\prime }\left(x\right)=\left(3x+4\right){}^{\prime }=3$  

wtedy korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu mamy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=g{}^{\prime }\left(x\right)\cdot h\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot h{}^{\prime }\left(x\right)=$  

$=30{\left(5x-2\right)}^5\cdot \left(3x+4\right)+{\left(5x-2\right)}^6\cdot 3=$  

$=3{\left(5x-2\right)}^5\left(10\left(3x+4\right)+5x-2\right)=$  

$=3{\left(5x-2\right)}^5\left(35x+38\right)$  

czyli 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3\left(35x+38\right){\left(5x-2\right)}^5,x\in \mathbb{R}$