a) Iloma co najmniej symetrycznymi monetami trzeba ...- Zadanie 14: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Przyjmijmy, że:

A - Orzeł wypadnie co najmniej raz.

A' - Orzeł nie wypadnie ani razu.

Szukaną liczbę monet oznaczmy jako n.

Za sukces uznajemy wypadnięcie orła. Prawdopodobieństwo tego wynosi:

$p = \frac{1}{2}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A ma być większe od 90%. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A' jest mniejsze lub równe 10%.

$P (A^{'}) \leq 10 %$

Wobec tego:

$P_{n} (0) \leq \frac{1}{10}$

$(n 0) \cdot (\frac{1}{2})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{2})^{n - 0} \leq \frac{1}{10}$

$1 \cdot 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n} \leq \frac{1}{10}$

$(\frac{1}{2})^{n} \leq \frac{1}{10}$

$2^{- n} \leq 10^{- 1}$

$2^{n} \geq 10^{1}$

$2^{n} \geq 10$

Podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku nierówności.

$lo g_{2} 2^{n} \geq lo g_{2} 10$

$n \geq \approx 3, 3 lo g_{2} 10$

Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest 4, więc trzeba rzucić co najmniej czterema monetami.

b) Przyjmijmy, że:

A - Jedno oczko wypadnie co najmniej raz.

A' - Jedno oczko nie wypadnie ani razu.

Szukaną liczbę rzutów kostką oznaczmy jako n.

Za sukces uznajemy wyrzucenie jednego oczka. Prawdopodobieństwo tego wynosi:

$p = \frac{1}{6}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A ma być większe od 1/2. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A' jest mniejsze lub równe 1/2.

$P (A^{'}) \leq \frac{1}{2}$

Wobec tego:

$P_{n} (0) \leq \frac{1}{2}$

$(n 0) \cdot (\frac{1}{6})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{6})^{n - 0} \leq \frac{1}{2}$

$1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^{n} \leq \frac{1}{2}$

$(\frac{5}{6})^{n} \leq \frac{1}{2}$

Podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, więc zmieniamy znak nierówności.

$lo g_{\frac{5}{6}} (\frac{5}{6})^{n} \geq lo g_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{2})$

$n \geq \approx 3, 8 lo g_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{2})$

Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest 4, więc trzeba rzucić kostką co najmniej cztery razy.

c) Przyjmijmy, że:

A - Strzelec trafi w cel co najmniej raz.

A' - Strzelec nie trafi do celu ani razu.

Szukaną liczbę strzałów oznaczmy jako n.

Za sukces uznajemy trafienie w cel. Prawdopodobieństwo tego wynosi:

$p = 0, 6$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A ma być większe od 99%. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A' jest mniejsze lub równe 1%.

$P (A^{'}) \leq 1 %$

Wobec tego:

$P_{n} (0) \leq \frac{1}{100}$

$(n 0) \cdot (0, 6)^{0} \cdot (1 - 0, 6)^{n - 0} \leq \frac{1}{100}$

$1 \cdot 1 \cdot (0, 4)^{n} \leq \frac{1}{100}$

$(0, 4)^{n} \leq \frac{1}{100}$

Podstawa logarytmu jest mniejsza od 1, więc zmieniamy znak nierówności.

$lo g_{0, 4} (0, 4)^{n} \geq lo g_{0, 4} (\frac{1}{100})$

$n \geq \approx 5, 03 lo g_{0, 4} (\frac{1}{100})$

Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest 6, więc trzeba wykonać co najmniej sześć strzałów.

d) Przyjmijmy, że:

A - W niedzielę urodziła się co najmniej jedna osoba.

A' - W niedzielę nie urodziła się ani jedna osoba.

Szukaną liczbę osób oznaczmy jako n.

Za sukces uznajemy urodzenie się w niedzielę. Prawdopodobieństwo tego wynosi:

$p = \frac{1}{7}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A ma być większe od prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego A'.

$P (A) > P (A^{'})$

Zadanie to rozwiążemy metodą prób i błędów.

$(1) n = 1$

Mamy wtedy:

$P_{1} (1) > P_{n} (0)$

$(11) \cdot (\frac{1}{7})^{1} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{1 - 1} > (10) \cdot (\frac{1}{7})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{1 - 0}$

$1 \cdot \frac{1}{7} \cdot (\frac{6}{7})^{0} > 1 \cdot 1 \cdot (\frac{6}{7})^{1}$

$\frac{1}{7} \cdot 1 > \frac{6}{7}$

$\frac{1}{7} > \frac{6}{7}$

Nierówność jest fałszywa.

$(2) n = 2$

Mamy wtedy:

$P_{2} (1) + P_{2} (2) > P_{2} (0)$

$(21) \cdot (\frac{1}{7})^{1} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{2 - 1} + (22) \cdot (\frac{1}{7})^{2} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{2 - 2} > (20) \cdot (\frac{1}{7})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{2 - 0}$

$2 \cdot \frac{1}{7} \cdot (\frac{6}{7})^{1} + 1 \cdot \frac{1}{49} \cdot (\frac{6}{7})^{0} > 1 \cdot 1 \cdot (\frac{6}{7})^{2}$

$\frac{2}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{49} \cdot 1 > \frac{36}{49}$

$\frac{12}{49} + \frac{1}{49} > \frac{36}{49}$

$\frac{13}{49} > \frac{36}{49}$

Nierówność jest fałszywa.

$(3) n = 3$

Mamy wtedy:

$P_{3} (1) + P_{3} (2) + P_{3} (3) > P_{3} (0)$

$(31) \cdot (\frac{1}{7})^{1} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{3 - 1} + (32) \cdot (\frac{1}{7})^{2} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{3 - 2} + (33) \cdot (\frac{1}{7})^{3} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{3 - 3} > (30) \cdot (\frac{1}{7})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{3 - 0}$

$3 \cdot \frac{1}{7} \cdot (\frac{6}{7})^{2} + 3 \cdot \frac{1}{49} \cdot (\frac{6}{7})^{1} + 1 \cdot \frac{1}{343} \cdot (\frac{6}{7})^{0} > 1 \cdot 1 \cdot (\frac{6}{7})^{3}$

$\frac{3}{7} \cdot \frac{36}{49} + \frac{3}{49} \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{343} \cdot 1 > \frac{216}{343}$

$\frac{108}{343} + \frac{18}{343} + \frac{1}{343} > \frac{216}{343}$

$\frac{127}{343} > \frac{216}{343}$

Nierówność jest fałszywa.

$(4) n = 4$

Mamy wtedy:

$P_{4} (1) + P_{4} (2) + P_{4} (3) + P_{4} (4) > P_{4} (0)$

$(41) \cdot (\frac{1}{7})^{1} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{4 - 1} + (42) \cdot (\frac{1}{7})^{2} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{4 - 2} + (43) \cdot (\frac{1}{7})^{3} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{4 - 3} + (44) \cdot (\frac{1}{7})^{4} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{4 - 4} > (40) \cdot (\frac{1}{7})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{4 - 0}$

$4 \cdot \frac{1}{7} \cdot (\frac{6}{7})^{3} + 6 \cdot \frac{1}{49} \cdot (\frac{6}{7})^{2} + 4 \cdot \frac{1}{343} \cdot (\frac{6}{7})^{1} + 1 \cdot \frac{1}{2401} \cdot (\frac{6}{7})^{0} > 1 \cdot 1 \cdot (\frac{6}{7})^{4}$

$\frac{4}{7} \cdot \frac{216}{343} + \frac{6}{49} \cdot \frac{36}{49} + \frac{4}{343} \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{2401} \cdot 1 > \frac{1296}{2401}$

$\frac{864}{2401} + \frac{216}{2401} + \frac{24}{2401} + \frac{1}{2401} > \frac{1296}{2401}$

$\frac{1105}{2401} > \frac{1296}{2401}$

Nierówność jest fałszywa.

$(5) n = 5$

Mamy wtedy:

$P_{5} (1) + P_{5} (2) + P_{5} (3) + P_{5} (4) + P_{5} (5) > P_{5} (0)$

$(51) \cdot (\frac{1}{7})^{1} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{5 - 1} + (52) \cdot (\frac{1}{7})^{2} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{5 - 2} + (53) \cdot (\frac{1}{7})^{3} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{5 - 3} + (54) \cdot (\frac{1}{7})^{4} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{5 - 4} + (55) \cdot (\frac{1}{7})^{5} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{5 - 5} > (50) \cdot (\frac{1}{7})^{0} \cdot (1 - \frac{1}{7})^{5 - 0}$

$5 \cdot \frac{1}{7} \cdot (\frac{6}{7})^{4} + 10 \cdot \frac{1}{49} \cdot (\frac{6}{7})^{3} + 10 \cdot \frac{1}{343} \cdot (\frac{6}{7})^{2} + 5 \cdot \frac{1}{2401} \cdot (\frac{6}{7})^{1} + 1 \cdot (\frac{1}{7})^{5} \cdot (\frac{6}{7})^{0} > 1 \cdot 1 \cdot (\frac{6}{7})^{5}$

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1296}{2401} + \frac{10}{49} \cdot \frac{216}{343} + \frac{10}{343} \cdot \frac{36}{49} + \frac{5}{2401} \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{16 807} \cdot 1 > \frac{7776}{16 807}$