Twierdzenie (wzór Newtona) Dla dowolnej liczby naturalnej n, n ≥ 1, prawdziwy jest wzór  ${\left(a+b\right)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)a^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)a^{n-2}{b}^2+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)a{b}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)b^n$

---

Rozważamy rozwinięcie dwumianu

${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^n,x\ne 0,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Korzystając ze wzoru Newtona dostajemy, że

• współczynnik przy przedostatnim wyrazie rozwinięcia jest równy

$\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)=\frac{n!}{\left(n-1\right)!\cdot 1!}=\frac{\left(n-1\right)!\cdot n}{\left(n-1\right)!}=n$  

• współczynnik przy ostatnim wyrazie rozwinięcia jest równy 

$\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=1$     

---

Wiadomo, że suma współczynników dwóch ostatnich wyrazów rozwinięcia tego dwumianu wynosi 19. 

Zatem mamy 

$n+1=19$  

$n=18$  

---

Wyznaczamy szósty wyraz rozwinięcia tego dwumianu

$c_6=\left(\begin{array}{c}18\\ 5\end{array}\right)\cdot x^{18-5}\cdot {\left(\frac{1}{x^2}\right)}^5=\left(\begin{array}{c}18\\ 5\end{array}\right)\cdot x^{13}\cdot \frac{1}{x^{10}}=\left(\begin{array}{c}18\\ 5\end{array}\right)\cdot x^3$