|
Twierdzenie
- (n0)=1, (nn)=1, gdzie n∈N
- (nk)=(nn−k), gdzie n∈N, k∈N, k≤n
- (nk)=(n−1k−1)+(n−1k), gdzie n∈N, k∈N, k≤n−1
|
a)
Korzystając z własności (3) symbolu Newtona dostajemy
(nn−2)+(nn−1)=(n+1n−1)
Zatem mamy
(nn−2)+(nn−1)(n+1n−2)=(n+1n−1)(n+1n−2)=(n−1)!⋅2!(n+1)!(n−2)!⋅3!(n+1)!=
=(n−2)!⋅3!(n−1)!⋅2!=(n−2)!⋅6(n−2)!⋅(n−1)⋅2=3n−1
b)
Korzystając z własności (3) symbolu Newtona dostajemy
(2n+12n−1)+(2n+12n)=(2n+22n)
Zatem dostajemy, że
(2n+12n−1)+(2n+12n)(2n+12n−1)=(2n+22n)(2n+12n−1)=(2n)!⋅2!(2n+2)!(2n−1)!⋅2!(2n+1)!==(2n−1)!(2n+1)!⋅(2n+2)!(2n)!=
=(2n−1)!⋅(2n+1)!⋅(2n+2)(2n+1)!⋅(2n−1)!⋅2n=2n+22n=n+1n
c)
Korzystając z własności (3) symbolu Newtona dostajemy
- =(3n+33n)(3n+23n−1)+(3n+23n)+(3n+33n+1)=(3n+33n)+(3n+33n+1)=(3n+43n+1)
- (3n+33n)+(3n+33n+1)=(3n+43n+1)
Zatem mamy
(3n+33n)+(3n+33n+1)(3n+23n−1)+(3n+23n)+(3n+33n+1)=(3n+43n+1)(3n+43n+1)=1
d)
Korzystając z własności (3) symbolu Newtona dostajemy
- =(4n4n−2)(4n−14n−3)+(4n−14n−2)+(4n4n−1)=(4n4n−2)+(4n4n−1)=(4n+14n−1)
- (4n4n−2)+(4n4n−1)=(4n+14n−1)
Zatem otrzymujemy, że
(4n−14n−3)+(4n−14n−2)+(4n4n−1)(4n4n−2)+(4n4n−1)=(4n+14n−1)(4n+14n−1)=1
