Twierdzenie (wzór Newtona) Dla dowolnej liczby naturalnej n, n ≥ 1, prawdziwy jest wzór  ${\left(a+b\right)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)a^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)a^{n-2}{b}^2+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)a{b}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)b^n$

---

a)

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy trzynasty wyraz rozwinięcia 

${\left(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)}^{20}$  

Otrzymujemy 

$c_{13}=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)\cdot {\sqrt{3}}^{20-12}\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)}^{12}=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)\cdot {\sqrt{3}}^8\cdot \frac{1}{3^3}=$  

$=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)\cdot 3^4\cdot \frac{1}{3^3}=\left(\begin{array}{c}20\\ 12\end{array}\right)\cdot 3$  

---

b)

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy siódmy wyraz rozwinięcia 

${\left(2x-\frac{1}{4}\right)}^{10}={\left(2x+\left(-\frac{1}{4}\right)\right)}^{10}$  

Otrzymujemy 

$c_7=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(2x\right)}^{10-6}\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^6=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot {\left(2x\right)}^4\cdot \frac{1}{4^6}=$  

$=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot 16x^4\cdot \frac{1}{4096}=\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)\cdot \frac{x^4}{256}$  

---

c)

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy szósty wyraz rozwinięcia 

${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{10}={\left(x+\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}^{10}$  

Otrzymujemy 

$c_6=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot x^{10-5}\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^5=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot x^5\cdot \left(-\frac{1}{2^5}\right)=$  

$=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\cdot x^5\cdot \left(-\frac{1}{32}\right)=-\frac{x^5}{32}\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)$  

---

d)

Korzystając ze wzoru Newtona wyznaczamy ósmy wyraz rozwinięcia 

${\left(3x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{11}={\left(3x+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)}^{11}$  

Otrzymujemy 

$c_8=\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)\cdot {\left(3x\right)}^{11-7}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^7=\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)\cdot {\left(3x\right)}^4\cdot \left(-\frac{1}{{\sqrt{3}}^7}\right)=$  

$=\left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)\cdot 81x^4\cdot \left(-\frac{1}{27\sqrt{3}}\right)=-\frac{3}{\sqrt{3}}{x}^4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)=$  

$=-\frac{3\sqrt{3}}{3}{x}^4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)=-\sqrt{3}\cdot x^4\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ 7\end{array}\right)$