Wykaż, że jeśli...- Zadanie 3.139: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie (wzór Newtona)

Dla dowolnej liczby naturalnej n, n ≥ 1, prawdziwy jest wzór

$(a + b)^{n} = (n 0) a^{n} + (n 1) a^{n - 1} b + (n 2) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (n n - 1) a b^{n - 1} + (n n) b^{n}$

Założenie:

$n \in N_{+}$

Teza:

$\frac{( n 0 )}{2 ^{0}} + \frac{( n 1 )}{2 ^{1}} + \frac{( n 2 )}{2 ^{2}} + \dots + \frac{( n n - 1 )}{2 ^{n - 1}} + \frac{( n n )}{2 ^{n}} = (\frac{3}{2})^{n}$

Dowód:

Przekształcając wyrażenie

$\frac{( n 0 )}{2 ^{0}} + \frac{( n 1 )}{2 ^{1}} + \frac{( n 2 )}{2 ^{2}} + \dots + \frac{( n n - 1 )}{2 ^{n - 1}} + \frac{( n n )}{2 ^{n}}$

otrzymujemy

$\frac{( n 0 )}{2 ^{0}} + \frac{( n 1 )}{2 ^{1}} + \frac{( n 2 )}{2 ^{2}} + \dots + \frac{( n n - 1 )}{2 ^{n - 1}} + \frac{( n n )}{2 ^{n}} =$

$= (n 0) + (n 1) \cdot (\frac{1}{2})^{1} + (n 2) \cdot (\frac{1}{2})^{2} + \dots + (n n - 1) \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} + (n n) \cdot (\frac{1}{2})^{n} =$

$= (n 0) \cdot 1^{n} + (n 1) \cdot 1^{n - 1} \cdot (\frac{1}{2})^{1} + (n 2) \cdot 1^{n - 2} \cdot (\frac{1}{2})^{2} + \dots + (n n - 1) \cdot 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} + (n n) \cdot (\frac{1}{2})^{n} = \dots$

zatem korzystając ze wzoru Newtona mamy

$\dots = (1 + \frac{1}{2})^{n} = (\frac{3}{2})^{n}$

czyli otrzymaliśmy, że

$\frac{( n 0 )}{2 ^{0}} + \frac{( n 1 )}{2 ^{1}} + \frac{( n 2 )}{2 ^{2}} + \dots + \frac{( n n - 1 )}{2 ^{n - 1}} + \frac{( n n )}{2 ^{n}} = (\frac{3}{2})^{n}$