a)

Wiadomo, że suma n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (b_n) wyraża się wzorem 

$S_n=n^2-9n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczymy liczbę naturalną dodatnią n, dla której zachodzi 

$S_n=322$  

$n^2-9n=322$  

$n^2-9n-322=0$  

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-322\right)=81+1288=1369$  

$\sqrt{\Delta }=37$  

$n_1=\frac{9-37}{2}=-14\notin {\mathbb{N}}_{+}$  

$n_2=\frac{9+37}{2}=23\in {\mathbb{N}}_{+}$  

czyli 

$\underline{\underline{n=23}}$  

Odp. Należy zsumować 23 początkowe wyrazy ciągu.

---

b)

Wyznaczymy ogólny wyraz ciągu (b_n).

Zauważmy, że 

$S_n=b_1+b_2+\dots +b_{n-1}+b_n$  

$S_{n-1}=b_1+b_2+\dots +b_{n-1}$  

czyli 

$b_n=S_n-S_{n-1},\text{jesˊli}n\ge 2$  

zatem

$b_n=S_n-S_{n-1}=\stackrel{=S_n}{\overbrace{n^2-9n}}-\text{(}\stackrel{=S_{n-1}}{\overbrace{{\left(n-1\right)}^2-9\left(n-1\right)}}\text{)}=$  

$=n^2-9n-\left(n^2-2n+1-9n+9\right)=$  

$=n^2-9n-n^2+2n-1+9n-9=2n-10$  

powyższy wzór jest prawdziwy również dla wyrazu a₁ ponieważ

$a_1=S_1=1^2-9\cdot 1=-8$  

podsumowując dostajemy, że wzór ogólny tego ciągu to 

$\underline{\underline{a_n=2n-10,n\in {\mathbb{N}}_{+}}}$