Jeśli (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, który spełnia warunek |q| < 1, to szereg geometryczny  $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+a_1{q}^4+\dots$   jest zbieżny i jego sumę wyraża wzór  $S=\frac{a_1}{1-q}$

---

a)

Dany jest szereg geometryczny

$\frac{4}{3}+1+\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\dots$  

w którym

• $a_1=\frac{4}{3}$  
  
  
• $q=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$  

zauważmy, że 

$\left|q\right|=\left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}<1$  

czyli ten szereg jest zbieżny. 

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego dostajemy 

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{16}{3}$  

---

b)

Dany jest szereg geometryczny

$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{64}\dots$  

w którym

• $a_1=1$  
  
  
• $q=\frac{-\frac{1}{4}}{1}=-\frac{1}{4}$  

zauważmy, że 

$\left|q\right|=\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}<1$  

czyli ten szereg jest zbieżny. 

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego dostajemy 

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$  

---

c)

Dany jest szereg geometryczny

$\sqrt{12}-\sqrt{6}+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}+\dots$  

w którym

• $a_1=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  
• $q=\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{12}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

zauważmy, że 

$\left|q\right|=\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7<1$  

czyli ten szereg jest zbieżny. 

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego dostajemy 

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2\sqrt{3}}{1-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}}=\dots$  

usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i otrzymujemy

$\dots =\frac{4\sqrt{3}\cdot \left(2-\sqrt{2}\right)}{2^2-{\sqrt{2}}^2}=\frac{4\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}=2\sqrt{3}\left(2-\sqrt{2}\right)=4\sqrt{3}-2\sqrt{6}$  

---

d)

Dany jest szereg geometryczny

$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+1+\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\dots$  

w którym

• $a_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$  
• $q=\frac{1}{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$  

zauważmy, że 

$\left|q\right|=\left|\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right|=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\approx 0,07<1$  

czyli ten szereg jest zbieżny. 

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego dostajemy 

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}{1-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}{\frac{2+\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{3}}}=\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}{\frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=$  

$=\frac{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}{2\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{4+4\sqrt{3}+3}{4\sqrt{3}-6}\cdot \frac{4\sqrt{3}+6}{4\sqrt{3}+6}=\frac{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(4\sqrt{3}+6\right)}{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2-6^2}=$  

$=\frac{28\sqrt{3}+42+48+24\sqrt{3}}{48-36}=\frac{52\sqrt{3}+90}{12}=\frac{26\sqrt{3}+45}{6}$