Jeśli (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, który spełnia warunek |q| < 1, to szereg geometryczny  $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+a_1{q}^4+\dots$   jest zbieżny i jego sumę wyraża wzór  $S=\frac{a_1}{1-q}$

---

Rozważamy nieskończony ciąg geometryczny (a_n) postaci 

$\left(\frac{b+1}{b-3},\frac{{\left(b+1\right)}^2}{2b-6},\frac{{\left(b+1\right)}^3}{4b-12},\dots \right)$  

w którym 

• $a_1=\frac{b+1}{b-3}$  
• $q=\frac{\frac{{\left(b+1\right)}^2}{2b-6}}{\frac{b+1}{b-3}}=\frac{\frac{{\left(b+1\right)}^2}{2\left(b-3\right)}}{\frac{b+1}{b-3}}=\frac{b+1}{2}$  

Wiadomo, ze suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa -2,4. 

Zatem szereg a₁+a₂+a₃+a₄+... jest zbieżny, czyli 

$\left|q\right|<1$   

skąd mamy 

$\left|\frac{b+1}{2}\right|<1$  

$\frac{\left|b+1\right|}{2}<1\mid \cdot 2$  

$\left|b+1\right|<2$  

$b+1<2\wedge b+1>-2$  

$b<1b>-3$  

czyli 

$\underline{b\in \left(-3,1\right)}$  

Korzystając ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego mamy 

$\frac{a_1}{1-q}=-2,4$  

$\frac{\frac{b+1}{b-3}}{1-\frac{b+1}{2}}=-\frac{12}{5}$  

$\frac{\frac{b+1}{b-3}}{\frac{2-\left(b+1\right)}{2}}=-\frac{12}{5}$  

$\frac{\frac{b+1}{b-3}}{\frac{1-b}{2}}=-\frac{12}{5}$  

$\frac{2\left(b+1\right)}{\left(b-3\right)\left(1-b\right)}=-\frac{12}{5}\mid \cdot 5\left(b-3\right)\left(1-b\right)$  

$10\left(b+1\right)=-12\left(b-3\right)\left(1-b\right)\mid :2$  

$5\left(b+1\right)=-6\left(-b^2+4b-3\right)$  

$5b+5=6b^2-24b+18$  

$-6b^2+29b-13=0$  

$\Delta ={29}^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot \left(-13\right)=841-312=529$  

$\sqrt{\Delta }=23$  

$b_1=\frac{-29-23}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{-52}{-12}=\frac{13}{3}\underset{\text{(sprzecznosˊcˊ)}}{=4\frac{1}{3}}$  

$b_2=\frac{-29+23}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{-6}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{1}{2}$  

czyli 

$\underline{\underline{b=\frac{1}{2}}}$