Jeśli (an) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, który spełnia warunek |q| < 1, to szereg geometryczny  $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+a_1{q}^4+\dots$   jest zbieżny i jego sumę wyraża wzór  $S=\frac{a_1}{1-q}$

---

Oznaczmy przez q iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n).

---

Zauważmy, że suma wyrazów ciągu (a_n) o numerach nieparzystych tworzy szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a₁, ilorazie q². 

Wiedząc, że jest to szereg zbieżny, którego suma jest równa ³/₈ , dostajemy 

• $\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{3}{8}$  

---

Zauważmy, że suma wyrazów ciągu (a_n) o numerach parzystych tworzy szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a₂, ilorazie q². 

Z określenia ciągu geometrycznego mamy a₂ = a₁q. 

Wiedząc, że jest to szereg zbieżny, którego suma jest równa ¹/₈ , dostajemy 

• $\frac{a_2}{1-q^2}=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{a_{1}q}{1-q^2}=\frac{1}{8}$  

---

Otrzymujemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{3}{8}\\ \frac{a_{1}q}{1-q^2}=\frac{1}{8}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{3}{8}\\ \frac{a_1}{1-q^2}\cdot q=\frac{1}{8}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{3}{8}\\ \frac{3}{8}\cdot q=\frac{1}{8}\mid :\frac{3}{8}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q^2}=\frac{3}{8}\\ q=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{3}{8}\\ q=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{8}\\ q=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{\frac{8}{9}}=\frac{3}{8}\mid \cdot \frac{8}{9}\\ q=\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{1}{3}\\ q=\frac{1}{3}\end{array}$  

---

Wyznaczamy wyraz ogólny ciągu (a_n).

Otrzymujemy

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=\frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$