Rozważamy funkcję wymierną daną wzorem 

$f\left(x\right)=2-\frac{10x}{x^2+25},x\in \mathbb{R}$  

---

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f, czyli znajdziemy wszystkie liczby y, dla których istnieją argumenty x należące do dziedziny funkcji takie, że f(x)=y. 

Otrzymujemy 

$y=2-\frac{10x}{x^2+25}\mid \cdot \left(x^2+25\right)$  

$y\left(x^2+25\right)=2\left(x^2+25\right)-10x$  

$y{x}^2+25y=2x^2+50-10x$  

$x^2\left(y-2\right)+10x+25\left(y-2\right)=0$  

powyższe równanie traktujemy jako równanie zmiennej x z parametrem y. Chcemy wyznaczyć rozwiązanie tego równania w zależności od wartości parametru y. Rozważmy przypadki (ze względu na wartość współczynnika przy x²)

---

I. y = 2 

wówczas równanie jest postaci 

$10x=0$  

$x=0$  

czyli dla argumentu x = 0 funkcja f przyjmuje wartość y = 2.

---

II. y ≠ 2

równanie kwadratowe 

$x^2\left(y-2\right)+10x+25\left(y-2\right)=0$  

ma rozwiązanie gdy 

$\Delta \ge 0$  

${10}^2-4\cdot \left(y-2\right)\cdot 25\left(y-2\right)\ge 0$  

$100-100{\left(y-2\right)}^2\ge 0\mid :\left(-100\right)$  

$-1+{\left(y-2\right)}^2\le 0$  

${\left(y-2\right)}^2\le 1\mid \sqrt{}$

$\left|y-2\right|\le 1$  

$y-2\le 1\wedge y-2\ge -1$  

$y\le 3y\ge 1$  

czyli 

$y\in ⟨1,3⟩$  

uwzględniając założenie (y ≠ 2) dostajemy 

$y\in ⟨1,2)\cup (2,3⟩$  

---

Zatem z I i II otrzymujemy, że 

$y\in ⟨1,3⟩$  

czyli zbiorem wartości funkcji wymiernej f jest przedział 

$\underline{\underline{⟨1,3⟩}}$