Dana jest funkcja wymierna...- Zadanie 1.170: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wyznaczymy argumenty x, dla których funkcja h przyjmuje wartości większe od 1.

W tym celu rozwiązujemy nierówność

$h (x) > 1$

$\frac{4}{( x - 1 ) ^{2}} > 1, ∣ \cdot (x - 1)^{2}, x \neq = 1$

$4 > (x - 1)^{2}$

$4 > x^{2} - 2 x + 1$

$- x^{2} + 2 x + 3 > 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

$Δ = 4$

$x_{1} = \frac{- 2 - 4}{- 2} = 3$

$x_{2} = \frac{- 2 + 4}{- 2} = - 1$

korzystając z rysunku i uwzględniając założenie dostajemy, że

$x \in (- 1, 1) \cup (1, 3)$

Wykażemy, że funkcja h jest rosnąca w przedziale (-oo, 1).

Założenie:

$h (x) = \frac{4}{( x - 1 ) ^{2}}, x_{1} \in (- \infty, 1), x_{2} \in (- \infty, 1), x_{1} < x_{2}$

Teza:

$h (x_{1}) < h (x_{2})$

Dowód:

$h (x_{1}) - h (x_{2}) = \frac{4}{( x _{1} - 1 ) ^{2}} - \frac{4}{( x _{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{4 ( x _{2} - 1 ) ^{2} - 4 ( x _{1} - 1 ) ^{2}}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{4 ( x _{2}^{2} - 2 x _{2} + 1 ) - 4 ( x _{1}^{2} - 2 x _{1} + 1 )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{4 x _{2}^{2} - 8 x _{2} - 4 x _{1}^{2} + 8 x _{1}}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{4 ( x _{2}^{2} - x _{1}^{2} ) - 8 ( x _{2} - x _{1} )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{4 ( x _{2} - x _{1} ) ( x _{2} + x _{1} ) - 8 ( x _{2} - x _{1} )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{4 ( x _{2} - x _{1} ) ( ( x _{2} + x _{1} ) - 2 )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} (*)$

Zauważmy, że

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{2} - x_{1} > 0$
$x_{1} \in (- \infty, 1), x_{2} \in (- \infty, 1) \Rightarrow x_{2} + x_{1} < 2 \Rightarrow x_{2} + x_{1} - 2 < 0$
$x_{1} \in (- \infty, 1) \Rightarrow x_{1} - 1 < 0$
$x_{2} \in (- \infty, 1) \Rightarrow x_{2} - 1 < 0$

zatem w liczniku otrzymanego ułamka mamy iloczyn dwóch liczb dodatnich i jednej liczby ujemnej, który jest ujemny, w mianowniku iloczyn liczb ujemnych, który jest dodatni, iloraz liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny, czyli

$h (x_{1}) - h (x_{2}) = \frac{4 ( x _{2} - x _{1} ) ( ( x _{2} + x _{1} ) - 2 )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} < 0$

więc

$h (x_{1}) - h (x_{2}) < 0 \Rightarrow h (x_{1}) < h (x_{2})$

zatem funkcja h jest rosnąca w przedziale (-oo, 1).

c.n.d.

Wykażemy, że funkcja h jest malejąca w przedziale (1, +oo).

Założenie:

$h (x) = \frac{4}{( x - 1 ) ^{2}}, x_{1} \in (1, + \infty), x_{2} \in (1, + \infty), x_{1} < x_{2}$

Teza:

$h (x_{1}) > h (x_{2})$

Dowód:

korzystając z (*) dostajemy

$h (x_{1}) - h (x_{2}) = \frac{4 ( x _{2} - x _{1} ) ( ( x _{2} + x _{1} ) - 2 )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}}$

Zauważmy, że

$x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{2} - x_{1} > 0$
$x_{1} \in (1, + \infty), x_{2} \in (1, + \infty) \Rightarrow x_{2} + x_{1} > 2 \Rightarrow x_{2} + x_{1} - 2 > 0$
$x_{1} \in (1, + \infty) \Rightarrow x_{1} - 1 > 0$
$x_{2} \in (1, + \infty) \Rightarrow x_{2} - 1 > 0$

zatem w liczniku otrzymanego ułamka mamy iloczyn dwóch liczb dodatnich, który jest dodatni, w mianowniku iloczyn liczb dodatnich, który jest dodatni, iloraz liczb dodatnich jest dodatni, czyli

$h (x_{1}) - h (x_{2}) = \frac{4 ( x _{2} - x _{1} ) ( ( x _{2} + x _{1} ) - 2 )}{( x _{1} - 1 ) ^{2} ( x _{2} - 1 ) ^{2}} > 0$