Wyznacz wszystkie wartości parametru k...- Zadanie 1.174: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważamy funkcję wymierną postaci

$f (x) = \frac{x ^{2} - 2 k x}{x ^{3} + 2 x ^{2} - 8 x}, x \in R ∖ {- 4, 0, 2}$

Zapiszmy funkcję $f$ w prostszej postaci:

$f (x) = \frac{x ^{2} - 2 k x}{x ^{3} + 2 x ^{2} - 8 x} = \frac{x ( x - 2 k )}{x ( x + 4 ) ( x - 2 )} = \frac{x - 2 k}{( x + 4 ) ( x - 2 )}, x \in R ∖ {- 4, 0, 2}$

Rozważamy równanie

$f (x) = 0$

$\frac{x - 2 k}{( x + 4 ) ( x - 2 )} = 0$

$x - 2 k = 0$

$x = 2 k$

Zauważmy, że równanie $f (x) = 0$ nie będzie mieć rozwiązania (tym samym funkcja f nie będzie mieć miejsc zerowych), gdy

$1) 2 k = - 4 \Rightarrow k = - 2$

lub

$2) 2 k = 2 \Rightarrow k = 1$

Ad.1)

Dla k = -2 otrzymujemy

$f (x) = \frac{x + 4}{( x - 2 ) ( x + 4 )} = \frac{1}{x - 2}, x \in R \ {- 4, 0, 2}$

Zauważmy, że

$f (- 4) = \frac{1}{- 4 - 2} = - \frac{1}{6}$
$f (0) = \frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$

otrzymana funkcja jest funkcją homograficzną, której asymptotą poziomą jest prosta y = 0 i do wykresu której, nie należą punkty

$(- 4, - \frac{1}{6}), (0, - \frac{1}{2})$

czyli zbiór wartości tej funkcji jest postaci

$Z_{w_{f}} = R \ {- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6}, 0}$

Ad.2)

Dla k = 1 otrzymujemy

$f (x) = \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( x + 4 )} = \frac{1}{x + 4}, x \in R \ {- 4, 0, 2}$

Zauważmy, że

$f (0) = \frac{1}{4}$
$f (2) = \frac{1}{6}$

otrzymana funkcja jest funkcją homograficzną, której asymptotą poziomą jest prosta y = 0 i do wykresu której, nie należą punkty

$(0, \frac{1}{4}), (2, \frac{1}{6})$

czyli zbiór wartości tej funkcji jest postaci

$Z_{w_{f}} = R \ {0, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}}$

Odp. Funkcja f nie ma miejsc zerowych dla k ∈ {-2, 1}.

Dla k = -2 zbiór wartości funkcji jest postaci $Z_{w} = R ∖ {- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6}, 0}$ .
Dla k = 1 zbiór wartości funkcji jest postaci $Z_{w} = R ∖ {0, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}}$ .