a)

Odcinki AB i CD są jednokładne, gdy zawierają się w prostych równoległych. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(2,-3) i B(5,6):

$a_{AB}=\frac{6-\left(-3\right)}{5-2}=\frac{9}{3}=3$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C(0,-1) i D(1,2):

$a_{CD}=\frac{2-\left(-1\right)}{1-0}=\frac{3}{1}=3$  

czyli 

$a_{AB}=a_{CD}$  

więc odcinki AB i CD są jednokładne. 

Wyznaczamy środek S i skalę k, k≠0 jednokładności, w której obrazem odcinka AB jest odcinek CD. 

Zauważmy, że obrazem punktu A może być punkt C lub D. 

Rozważmy więc przypadki:

I.

Punkt C(0,-1) jest obrazem punktu A(2,-3) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SC}=k\cdot \overrightarrow{SA}$  

$\left[-x,-1-y\right]=k\cdot \left[2-x,-3-y\right]$  

$\left[-x,-1-y\right]=\left[2k-kx,-3k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy 

$-x=2k-kx\wedge -1-y=-3k-ky$  

$kx-x=2kky-y=1-3k$  

$x\left(k-1\right)=2ky\left(k-1\right)=1-3k$  

$x=\frac{2k}{k-1},k\ne 1y=\frac{1-3k}{k-1},k\ne 1$  

Punkt D(1,2) jest obrazem punktu B(5,6) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SD}=k\cdot \overrightarrow{SB}$  

$\left[1-x,2-y\right]=k\cdot \left[5-x,6-y\right]$  

$\left[1-x,2-y\right]=\left[5k-kx,6k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy (wystarczy, że porównamy pierwsze współrzędne)

$1-x=5k-kx$  

$kx-x=5k-1$  

$x\left(k-1\right)=5k-1$  

$x=\frac{5k-1}{k-1},k\ne 1$  

zatem otrzymujemy, że 

$\frac{2k}{k-1}=\frac{5k-1}{k-1}\mid \cdot \left(k-1\right),k\ne 1\text{i}k\ne 0$  

$2k=5k-1$  

$-3k=-1$  

$\underline{\underline{k=\frac{1}{3}}}$  

wtedy 

$x=\frac{2k}{k-1}=\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-1}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}}=-1$  

$y=\frac{1-3k}{k-1}=\frac{1-3\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-1}=0$  

czyli 

$\underline{\underline{S\left(-1,0\right)}}$  

II.

Punkt D(1,2) jest obrazem punktu A(2,-3) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SD}=k\cdot \overrightarrow{SA}$  

$\left[1-x,2-y\right]=k\cdot \left[2-x,-3-y\right]$  

$\left[1-x,2-y\right]=\left[2k-kx,-3k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy 

$1-x=2k-kx\wedge 2-y=-3k-ky$  

$kx-x=2k-1ky-y=-3k-2$  

$x\left(k-1\right)=2k-1y\left(k-1\right)=-3k-2$  

$x=\frac{2k-1}{k-1},k\ne 1y=\frac{-3k-2}{k-1},k\ne 1$  

Punkt C(0,-1) jest obrazem punktu B(5,6) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SC}=k\cdot \overrightarrow{SB}$  

$\left[-x,-1-y\right]=k\cdot \left[5-x,6-y\right]$  

$\left[-x,-1-y\right]=\left[5k-kx,6k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy (wystarczy nam rozważyć równość pierwszych współrzędnych)

$-x=5k-kx$  

$kx-x=5k$  

$x\left(k-1\right)=5k$  

$x=\frac{5k}{k-1},k\ne 1$  

zatem otrzymujemy, że 

$\frac{2k-1}{k-1}=\frac{5k}{k-1}\mid \cdot \left(k-1\right),k\ne 1\text{i}k\ne 0$  

$2k-1=5k$  

$-3k=1$  

$\underline{\underline{k=-\frac{1}{3}}}$  

wtedy 

$x=\frac{2k-1}{k-1}=\frac{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)-1}{-\frac{1}{3}-1}=\frac{-\frac{2}{3}-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{4}{3}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$  

$y=\frac{-3k-2}{k-1}=\frac{-3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)-2}{-\frac{1}{3}-1}=\frac{1-2}{-\frac{4}{3}}=\frac{-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$  

czyli 

$\underline{\underline{S\left(1\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)}}$  

Odp.  $k=\frac{1}{3}\text{i}S\left(-1,0\right)\text{lub}k=-\frac{1}{3}\text{i}S\left(1\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right).$  

---

b)

Odcinki AB i CD są jednokładne, gdy zawierają się w prostych równoległych. 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(-2,-1) i B(4,2):

$a_{AB}=\frac{2-\left(-1\right)}{4-\left(-2\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C(2,1) i D(10,5):

$a_{CD}=\frac{5-1}{10-2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$  

czyli 

$a_{AB}=a_{CD}$  

więc odcinki AB i CD są jednokładne. 

Wyznaczamy środek S i skalę k, k≠0 jednokładności, w której obrazem odcinka AB jest odcinek CD. 

Zauważmy, że obrazem punktu A może być punkt C lub D. 

Rozważmy więc przypadki:

I.

Punkt C(2,1) jest obrazem punktu A(-2,-1) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SC}=k\cdot \overrightarrow{SA}$  

$\left[2-x,1-y\right]=k\cdot \left[-2-x,-1-y\right]$  

$\left[2-x,1-y\right]=\left[-2k-kx,-k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy 

$2-x=-2k-kx\wedge 1-y=-k-ky$  

$kx-x=-2k-2ky-y=-k-1$  

$x\left(k-1\right)=-2k-2y\left(k-1\right)=-k-1$  

$x=\frac{-2k-2}{k-1},k\ne 1y=\frac{-k-1}{k-1},k\ne 1$  

Punkt D(10,5) jest obrazem punktu B(4,2) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SD}=k\cdot \overrightarrow{SB}$  

$\left[10-x,5-y\right]=k\cdot \left[4-x,2-y\right]$  

$\left[10-x,5-y\right]=\left[4k-kx,2k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy (wystarczy, że porównamy pierwsze współrzędne)

$10-x=4k-kx$  

$kx-x=4k-10$  

$x\left(k-1\right)=4k-10\mid :\left(k-1\right),k\ne 1$  

$x=\frac{4k-10}{k-1},k\ne 1$  

zatem otrzymujemy, że 

$\frac{-2k-2}{k-1}=\frac{4k-10}{k-1}\mid \cdot \left(k-1\right),k\ne 1\text{i}k\ne 0$  

$-2k-2=4k-10$  

$-6k=-8$  

$k=\frac{4}{3}$  

wtedy 

$x=\frac{-2k-2}{k-1}=\frac{-2\cdot \frac{4}{3}-2}{\frac{4}{3}-1}=\frac{-\frac{14}{3}}{\frac{1}{3}}=-14$  

$y=\frac{-k-1}{k-1}=\frac{-\frac{4}{3}-1}{\frac{4}{3}-1}=\frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}}=-7$  

czyli 

$\underline{\underline{S\left(-14,-7\right)}}$  

II.

Punkt D(10,5) jest obrazem punktu A(-2,-1) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SD}=k\cdot \overrightarrow{SA}$  

$\left[10-x,5-y\right]=k\cdot \left[-2-x,-1-y\right]$  

$\left[10-x,5-y\right]=\left[-2k-kx,-k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy 

$10-x=-2k-kx\wedge 5-y=-k-ky$  

$kx-x=-2k-10ky-y=-k-5$  

$x\left(k-1\right)=-2k-10y\left(k-1\right)=-k-5$  

$x=\frac{-2k-10}{k-1},k\ne 1y=\frac{-k-5}{k-1},k\ne 1$  

Punkt C(2,1) jest obrazem punktu B(4,2) w jednokładności o środku S(x,y) i skali k,k≠0. Wtedy

$\overrightarrow{SC}=k\cdot \overrightarrow{SB}$  

$\left[2-x,1-y\right]=k\cdot \left[4-x,2-y\right]$  

$\left[2-x,1-y\right]=\left[4k-kx,2k-ky\right]$  

z równości wektorów mamy (wystarczy nam rozważyć równość pierwszych współrzędnych)

$2-x=4k-kx$  

$kx-x=4k-2$  

$x\left(k-1\right)=4k-2$  

$x=\frac{4k-2}{k-1},k\ne 1$  

zatem otrzymujemy, że 

$\frac{-2k-10}{k-1}=\frac{4k-2}{k-1}\mid \cdot \left(k-1\right),k\ne 1\text{i}k\ne 0$  

$-2k-10=4k-2$  

$-6k=8$  

$k=-\frac{4}{3}$  

wtedy 

$x=\frac{-2k-10}{k-1}=\frac{-2\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)-10}{-\frac{4}{3}-1}=\frac{-\frac{22}{3}}{-\frac{7}{3}}=\frac{22}{7}=3\frac{1}{7}$  

$y=\frac{-k-5}{k-1}=\frac{\frac{4}{3}-5}{-\frac{4}{3}-1}=\frac{-\frac{11}{3}}{-\frac{7}{3}}=\frac{11}{7}=1\frac{4}{7}$  

czyli 

$\underline{\underline{S\left(3\frac{1}{7},1\frac{4}{7}\right)}}$  

Odp.  $k=\frac{4}{3}\text{i}S\left(-14,-7\right)\text{lub}k=-\frac{4}{3}\text{i}S\left(3\frac{1}{7},1\frac{4}{7}\right).$