Definicja Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i różniczkowalna w tym punkcie.  Styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) nazywamy prostą opisaną równaniem $y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

---

a)

Przekształcamy równanie prostej k do postaci kierunkowej:

• $x-5y-10=0\Rightarrow y=\frac{1}{5}x-2$   

Funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze R. Wyznaczamy pochodną tej funkcji

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(3x^2+x-2\right){}^{\prime }=\left(3x^2\right){}^{\prime }+\left(x\right){}^{\prime }+\left(-2\right){}^{\prime }=6x+1,x\in \mathbb{R}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A(x_A, y_A):

• $f{}^{\prime }\left(x_A\right)=6x_A+1$  

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A i prosta k będą prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy -1, czyli 

$\frac{1}{5}\cdot \left(6x_A+1\right)=-1$

$\frac{6}{5}{x}_A+\frac{1}{5}=-1$  

$\frac{6}{5}{x}_A=-\frac{6}{5}\mid :\frac{6}{5}$  

$x_A=-1$   

czyli

$y_A=f\left(x_A\right)=f\left(-1\right)=3{\left(-1\right)}^2-1-2=3-3=0$  

więc 

$A\left(-1,0\right)$  

 

Odp. A(-1,0). 

---

b)

Przekształcamy równanie prostej k do postaci kierunkowej:

• $2x+y-5=0\Rightarrow y=-2x+5$   

Funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze R/{1}. Wyznaczamy pochodną tej funkcji

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{3-x}{1-x}\right){}^{\prime }=\frac{\left(3-x\right){}^{\prime }\cdot \left(1-x\right)-\left(3-x\right)\cdot \left(1-x\right){}^{\prime }}{{\left(1-x\right)}^2}=$  

$=\frac{-1\cdot \left(1-x\right)-\left(3-x\right)\cdot \left(-1\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{-1+x+3-x}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{2}{{\left(1-x\right)}^2}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A(x_A, y_A):

• $f{}^{\prime }\left(x_A\right)=\frac{2}{{\left(1-x_A\right)}^2}$  

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A i prosta k będą prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy -1, czyli 

$-2\cdot \frac{2}{{\left(1-x_A\right)}^2}=-1\mid \cdot {\left(1-x_A\right)}^2\ne 0$  

$-4=-{\left(1-x_A\right)}^2\mid :\left(-1\right)$  

$4={\left(1-x_A\right)}^2\mid \sqrt{}$  

$2=\left|1-x_A\right|$  

$\left|1-x_A\right|=2$  

z własności wartości bezwzględnej mamy 

$1-x_A=2\vee 1-x_A=-2$  

$x_A=-1x_A=3$  

Zatem

• dla x_A = -1 mamy

$y_A=f\left(x_A\right)=\frac{3-\left(-1\right)}{1-\left(-1\right)}=\frac{4}{2}=2$  

czyli A(-1,2).

• dla x_A = 3 mamy 

$y_A=f\left(x_A\right)=\frac{3-3}{1-3}=0$  

czyli A(3,0). 

 

Odp. A(-1,2) lub A(3,0). 

---

c)

Przekształcamy równanie prostej k do postaci kierunkowej:

• $x+10y=0\Rightarrow y=-\frac{1}{10}x$   

Funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze R/{0}. Wyznaczamy pochodną tej funkcji

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{-2}{x^5}\right){}^{\prime }=\frac{\left(-2\right){}^{\prime }\cdot x^5-\left(-2\right)\cdot \left(x^5\right){}^{\prime }}{{\left(x^5\right)}^2}=\frac{2\cdot 5x^4}{x^{10}}=\frac{10}{x^6}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A(x_A, y_A):

• $f{}^{\prime }\left(x_A\right)=\frac{10}{x_A^6}$  

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A i prosta k będą prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy -1, czyli 

$-\frac{1}{10}\cdot \frac{10}{x_A^6}=-1$

  $-\frac{1}{x_A^6}=-1\mid \cdot x_A^6$  

$-1=-x_A^6$  

$1=x_A^6$  

czyli 

$x_A=1\vee x_A=-1$  

wtedy 

• dla x_A = -1 mamy

$y_A=f\left(x_A\right)=\frac{-2}{{\left(-1\right)}^5}=2$  

czyli A(-1,2).

• dla x_A = 1 mamy 

$y_A=f\left(x_A\right)=-\frac{2}{1}=-2$  

czyli A(1,-2). 

 

Odp. A(-1,2) lub A(1,-2). 

---

d)

Przekształcamy równanie prostej k do postaci kierunkowej:

• $2x+3y-3=0\Rightarrow y=-\frac{2}{3}x+1$   

Funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze R/{-¹/₂}. Wyznaczamy pochodną tej funkcji

• $f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{2x^2+3x}{4x+2}\right){}^{\prime }=\frac{\left(2x^2+3x\right){}^{\prime }\cdot \left(4x+2\right)-\left(2x^2+3x\right)\cdot \left(4x+2\right){}^{\prime }}{{\left(4x+2\right)}^2}=$  

$=\frac{\left(4x+3\right)\cdot \left(4x+2\right)-\left(2x^2+3x\right)\cdot 4}{{\left(4x+2\right)}^2}=\frac{16x^2+8x+12x+6-8x^2-12x}{{\left(4x+2\right)}^2}=\frac{8x^2+8x+6}{{\left(4x+2\right)}^2}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A(x_A, y_A):

• $f{}^{\prime }\left(x_A\right)=\frac{8x_A^2+8x_A+6}{{\left(4x_A+2\right)}^2}$  

Styczna do wykresu funkcji f w punkcie A i prosta k będą prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych będzie równy -1, czyli 

$-\frac{2}{3}\cdot \frac{8x_A^2+8x_A+6}{{\left(4x_A+2\right)}^2}=-1\mid \cdot \left(-3\right)\cdot {\left(4x_A+2\right)}^2$

  $2\cdot \left(8x_A^2+8x_A+6\right)=3{\left(4x_A+2\right)}^2$  

$16x_A^2+16x_A+12=3\left(16x_A^2+16x_A+4\right)$  

$16x_A^2+16x_A+12=48x_A^2+48x_A+12$  

$-32x_A^2-32x_A=0\mid :\left(-32\right)$  

$x_A^2+x_A=0$  

$x_A\left(x_A+1\right)=0$

$x_A=0\vee x_A+1=0$  

$x_A=-1$  

Zatem

• dla x_A= 0 mamy

$y_A=f\left(x_A\right)=\frac{0}{2}=0$  

czyli A(0,0).

• dla x_A=-1 mamy 

$y_A=f\left(x_A\right)=\frac{2{\left(-1\right)}^2+3\left(-1\right)}{4\left(-1\right)+2}=\frac{2-3}{-4+2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$  

czyli A(-1,¹/₂).

 

Odp. A(0,0) lub A(-1,¹/₂).