Dane jest równanie

$\frac{\left(x-3m\right)\left(x+m\right)}{x-6}=0,x\ne 6$  

Rozważmy przypadki, dla których równanie ma jedno rozwiązanie

1) 

$x-3m=x-6$  

wtedy

$-3m=-6$  

$m=2$   

Dla m = 2 otrzymujemy

$\frac{\left(x-3\cdot 2\right)\left(x+2\right)}{x-6}=0$  

$\frac{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}{x-6}=0\mid \cdot \left(x-6\right)$  

$x+2=0$  

$x=-2$  

---

2)

$x+m=x-6$  

wtedy 

$m=-6$  

Dla m = -6 otrzymujemy 

$\frac{\left(x+18\right)\left(x-6\right)}{x-6}=0\mid \cdot \left(x-6\right)$  

$x+18=0$  

$x=-18$   

---

3)

$x-3m\ne x-6\wedge x+m\ne x-6$  

wtedy mamy

$\frac{\left(x-3m\right)\left(x+m\right)}{x-6}=0\mid \cdot \left(x-6\right)$  

$\left(x-3m\right)\left(x+m\right)=0$  

$x-3m=0\vee x+m=0$  

$x=3mx=-m$  

równanie  ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy 

$3m=-m$  

skąd mamy 

$4m=0$  

$m=0$  

Dla m=0 otrzymujemy

$x=0$  

---

Z przypadków 1), 2) i 3) dostajemy, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy m ∈ {-6, 0, 2}. 

Dla m = -6 rozwiązaniem jest x =-18, dla m = 0 rozwiązaniem jest x=0, dla m = 2 rozwiązaniem jest x = -2.