a)

$\frac{20-15x}{3x-4}-2x=0$  

Założenie:

$3x-4\ne 0$  

$3x\ne 4$  

$\underline{x\ne \frac{4}{3}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{20-15x}{3x-4}-2x=0\mid \cdot \left(3x-4\right)$  

$20-15x-2x\left(3x-4\right)=0$  

$20-15x-6x^2+8x=0$  

$-6x^2-7x+20=0$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot 20=49+480=529$  

$\sqrt{\Delta }=23$  

$x_1=\frac{7-23}{-12}=\frac{4}{3}$  

$x_2=\frac{7+23}{-12}=-\frac{15}{6}=-2\frac{1}{2}$  

uwzględniając założenie dostajemy, ze 

$x=-2\frac{1}{2}$  

---

b)

$\frac{x^3-x}{3x^2-3}-\frac{4}{6x-6}=0$  

Założenie:

$3x^2-3\ne 0\wedge 6x-6\ne 0$  

$3x^2\ne 36x\ne 6$  

$x^2\ne 1x\ne 1$  

$x\ne -1\wedge x\ne 1$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{x^3-x}{3x^2-3}-\frac{4}{6x-6}=0$  

$\frac{x\cdot {\sout{\left(x^2-1\right)}}^1}{3\cdot {\sout{\left(x^2-1\right)}}_1}-\frac{4}{6\left(x-1\right)}=0$  

$\frac{x}{3}-\frac{4}{6\left(x-1\right)}=0\mid \cdot 6\left(x-1\right)$  

$2x\left(x-1\right)-4=0$  

$2x^2-2x-4=0\mid :2$  

$x^2-x-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{1-3}{2}=-1$  

$x_2=\frac{1+3}{2}=2$  

uwzględniając założenie otrzymujemy 

$x=2$  

---

c)

$\frac{x-5}{x+1}-1=x+1$  

Założenie:

$x+1\ne 0$  

$\underline{x\ne -1}$

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{x-5}{x+1}-1=x+1\mid \cdot \left(x+1\right)$  

$x-5-\left(x+1\right)={\left(x+1\right)}^2$  

$x-5-x-1=x^2+2x+1$  

$x^2+2x+7=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 7=-24<0$   

czyli równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).  

---

d)

$\frac{3x-1}{x+2}-\frac{2x+3}{x+2}=x-2$  

Założenie:

$x+2\ne 0$  

$\underline{x\ne -2}$   

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{3x-1}{x+2}-\frac{2x+3}{x+2}=x-2\mid \cdot \left(x+2\right)$  

$3x-1-\left(2x+3\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$  

$3x-1-2x-3=x^2-4$  

$x-4=x^2-4$  

$x^2-x=0$  

$x\left(x-1\right)=0$  

$x=0\vee x-1=0$  

$x=1$  

czyli 

$x\in \left\{0,1\right\}$  

---

e)

$\frac{x}{2x-3}+\frac{1}{3-2x}=2x-2$  

Założenie:

$2x-3\ne 0\wedge 3-2x\ne 0$  

$2x\ne 3-2x\ne -3$  

$x\ne \frac{3}{2}x\ne \frac{3}{2}$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{\frac{3}{2}\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{x}{2x-3}+\frac{1}{3-2x}=2x-2$  

$\frac{x}{2x-3}-\frac{1}{2x-3}=2x-2\mid \cdot \left(2x-3\right)$  

$x-1=\left(2x-2\right)\left(2x-3\right)$  

$x-1=4x^2-6x-4x+6$  

$4x^2-11x+7=0$  

$\Delta ={\left(-11\right)}^2-4\cdot 4\cdot 7=121-112=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{11-3}{2\cdot 4}=1$  

$x_2=\frac{11+3}{2\cdot 4}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$  

czyli 

$x\in \left\{1,1\frac{3}{4}\right\}$  

---

f)

$\frac{2x-1}{x-1}-x=\frac{x+2}{1-x}-1$  

Założenie:

$x-1\ne 0\wedge 1-x\ne 0$  

$x\ne 11\ne x$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{2x-1}{x-1}-x=\frac{x+2}{1-x}-1$  

$\frac{2x-1}{x-1}-x=-\frac{x+2}{x-1}-1\mid \cdot \left(x-1\right)$  

$2x-1-x\left(x-1\right)=-\left(x+2\right)-\left(x-1\right)$  

$2x-1-x^2+x=-x-2-x+1$  

$-x^2+5x=0$  

$-x\left(x-5\right)=0$  

$x=0\vee x-5=0$   

$x=5$  

czyli 

$x\in \left\{0,5\right\}$