Twierdzenie  Jeśli  $\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\text{i}\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]$   są niezerowymi wektorami, to  $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff u_1{v}_1+u_2{v}_2=0$

---

Dane są punkty 

$A\left(0,-2\right),B\left(6,0\right)$  

Wyznaczymy na prostej k: x-2y=0 taki punkt P aby 

$\left|\sphericalangle APB\right|={90}^{\circ }$  

---

Przekształcamy równane prostej k do postaci kierunkowej:

$x-2y=0\mid -x$  

$-2y=-x\mid :\left(-2\right)$

$\underline{\underline{y=\frac{1}{2}x}}$   

Punkt P leży na prostej k: y=¹/₂x czyli jego współrzędne możemy zapisać w postaci 

$P\left(x,\frac{1}{2}x\right)$  

---

Wyznaczamy wektory  $\overrightarrow{PA}\text{i}\overrightarrow{PB}$  

• $\overrightarrow{PA}=\left[0-x,-2-\frac{1}{2}x\right]=\left[-x,-2-\frac{1}{2}x\right]$  
• $\overrightarrow{PB}=\left[6-x,0-\frac{1}{2}x\right]=\left[6-x,-\frac{1}{2}x\right]$  

Chcemy żeby te wektory były prostopadłe, czyli żeby zachodziło 

$-x\cdot \left(6-x\right)+\left(-2-\frac{1}{2}x\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}x\right)=0$  

$-6x+x^2+x+\frac{1}{4}{x}^2=0$  

$\frac{5}{4}{x}^2-5x=0$  

$x\left(\frac{5}{4}x-5\right)=0$  

$x=0\vee \frac{5}{4}x-5=0$  

$\frac{5}{4}x=5$  

$x=4$  

czyli 

$x\in \left\{0,4\right\}$  

więc 

$\underline{\underline{P\left(0,0\right)\text{lub}P\left(4,2\right)}}$