Twierdzenie  Jeśli  $\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\text{i}\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]$   są niezerowymi wektorami, to  $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff u_1{v}_1+u_2{v}_2=0$

---

Dane są punkty 

$A\left(-2,-2\right),B\left(4,2\right)$  

Wyznaczymy na osi OY współrzędne punktu P aby 

$\left|\sphericalangle APB\right|={90}^{\circ }$  

---

Punkt P leży na osi OY czyli jego współrzędne możemy zapisać w postaci 

$P\left(0,y\right)$  

---

Wyznaczamy wektory  $\overrightarrow{PA}\text{i}\overrightarrow{PB}$  

$\overrightarrow{PA}=\left[-2-0,-2-y\right]=\left[-2,-2-y\right]$  

$\overrightarrow{PB}=\left[4-0,2-y\right]=\left[4,2-y\right]$  

Chcemy żeby te wektory były prostopadłe, czyli żeby zachodziło 

$-2\cdot 4+\left(-2-y\right)\cdot \left(2-y\right)=0$  

$-8-\left(2+y\right)\left(2-y\right)=0$  

$-8-\left(2^2-y^2\right)=0$  

$-8-\left(4-y^2\right)=0$  

$-8-4+y^2=0$  

$y^2=12\mid \sqrt{}$  

$\left|y\right|=2\sqrt{3}$   

czyli 

$y=2\sqrt{3}\vee y=-2\sqrt{3}$  

więc 

$\underline{\underline{P\left(0,-2\sqrt{3}\right)\text{lub}P\left(0,2\sqrt{3}\right)}}$