Twierdzenie                                                                                                           Dwa niezerowe wektory  $\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right],\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]$   tworzą taki kąt 𝛼, że  $\cos \alpha =\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$   oraz  $\sin \alpha =\frac{\left|u_1{v}_2-u_2{v}_1\right|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$

---

a)

Dane są wektory 

$\overrightarrow{u}=\left[\sqrt{3},\sqrt{6}\right],\overrightarrow{v}=\left[2,0\right]$  

Obliczamy sinus kąta 𝛼 utworzonego przez te wektory 

$\sin \alpha =\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 0-\sqrt{6}\cdot 2\right|}{\sqrt{{\sqrt{3}}^2+{\sqrt{6}}^2}\cdot \sqrt{2^2+0^2}}=$  

$=\frac{\left|-2\sqrt{6}\right|}{\sqrt{3+6}\cdot \sqrt{2^2}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{9}\cdot 2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

---

b)

Dane są wektory 

$\overrightarrow{u}=\left[-3,4\right],\overrightarrow{v}=\left[0,5\right]$  

Obliczamy sinus kąta 𝛼 utworzonego przez te wektory 

$\sin \alpha =\frac{\left|-3\cdot 5-4\cdot 0\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}\cdot \sqrt{0^2+5^2}}=$  

$=\frac{\left|-15\right|}{\sqrt{9+16}\cdot \sqrt{5^2}}=\frac{15}{\sqrt{25}\cdot 5}=\frac{3}{5}$  

---

c)

Dane są wektory 

$\overrightarrow{u}=\left[7,-1\right],\overrightarrow{v}=\left[-2,2\right]$  

Obliczamy sinus kąta 𝛼 utworzonego przez te wektory 

$\sin \alpha =\frac{\left|7\cdot 2-\left(-1\right)\cdot \left(-2\right)\right|}{\sqrt{7^2+{\left(-1\right)}^2}\cdot \sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}}=\frac{\left|14-2\right|}{\sqrt{49+1}\cdot \sqrt{4+4}}=$  ``

$=\frac{\left|12\right|}{\sqrt{50}\cdot \sqrt{8}}=\frac{12}{5\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$  

---

d)

Dane są wektory

$\overrightarrow{u}=\left[12,-5\right],\overrightarrow{v}=\left[6,8\right]$  

Obliczamy sinus kąta 𝛼 utworzonego przez te wektory 

$\sin \alpha =\frac{\left|12\cdot 8-\left(-5\right)\cdot 6\right|}{\sqrt{{12}^2+{\left(-5\right)}^2}\cdot \sqrt{6^2+8^2}}=$  

$=\frac{\left|96+30\right|}{\sqrt{144+25}\cdot \sqrt{36+64}}=\frac{\left|126\right|}{\sqrt{169}\cdot \sqrt{100}}=\frac{126}{13\cdot 10}=\frac{126}{130}=\frac{63}{65}$