Twierdzenie  Jeśli  $\overrightarrow{u}=\left[u_1,u_2\right]\text{i}\overrightarrow{v}=\left[v_1,v_2\right]$   są niezerowymi wektorami, to  $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff u_1{v}_1+u_2{v}_2=0$

---

Dane są wektory 

• $\overrightarrow{u}=\left[1,2\right]$  
• $\overrightarrow{v}=\left[3,-6\right]$  
• $\overrightarrow{p}=\left[a,-\frac{1}{2}\right]$  

Wyznaczamy współrzędne wektora  $\overrightarrow{r}$  

$\overrightarrow{r}=\left(a+1\right)\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(a+1\right)\cdot \left[1,2\right]+\left[3,-6\right]=$  

$=\left[a+1,2\left(a+1\right)\right]+\left[3,-6\right]=\left[a+1,2a+2\right]+\left[3,-6\right]=$  

$=\left[a+1+3,2a+2-6\right]=\left[a+4,2a-4\right]$  

Wiadomo, że wektory 

$\overrightarrow{r}=\left[a+4,2a-4\right]\text{i}\overrightarrow{p}=\left[a,-\frac{1}{2}\right]$  

są prostopadłe, czyli na mocy przypomnianego wyżej twierdzenia dostajemy 

$r_1\cdot p_1+r_2\cdot p_2=0$  

$\left(a+4\right)\cdot a+\left(2a-4\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0$  

$a^2+4a-a+2=0$  

$a^2+3a+2=0$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

$a_1=\frac{-3-1}{2}=-2$  

$a_2=\frac{-3+1}{2}=-1$  

więc 

$\underline{\underline{a\in \left\{-2,-1\right\}}}$