Wiadomo, że 𝛼 i 𝛽 są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta (𝛼, 𝛽 ∈ (0°, 180°)) oraz

$\cos \alpha =\frac{1}{3}\text{i}\cos \beta =\frac{2}{3}$  

Zauważmy, że skoro 

$\cos \alpha >0,\cos \beta >0$  

to każdy z kątów 𝛼 i 𝛽  jest ostry.

Żeby sprawdzić czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny (bez wyznaczania miar kątów trójkąta) wystarczy wyznaczyć cosinus trzeciego kąta tego trójkąta. 

---

Oznaczmy przez γ miarę trzeciego kąta w w tym trójkącie, wtedy 

$\gamma \in \left({0,180}^{\circ }\right)$  

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180° mamy 

$\gamma ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)$  

---

Wyznaczamy cos𝛾 

$\cos \gamma =\cos \left({180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)\right)=-\cos \left(\alpha +\beta \right)=-\left(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right)=\dots$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy  ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$   ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1$   ${\sin }^2\alpha +\frac{1}{9}=1$   ${\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}\wedge \sin \alpha >0$   czyli $\underline{\underline{\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}}}$   ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$   ${\sin }^2\beta +{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1$   ${\sin }^2\beta +\frac{4}{9}=1$   ${\sin }^2\beta =\frac{5}{9}\text{i}\sin \beta >0$   czyli  $\underline{\underline{\sin \beta =\frac{\sqrt{5}}{3}}}$

czyli

$\dots =-\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}\right)=-\left(\frac{2}{9}-\frac{2\sqrt{10}}{9}\right)=\frac{2\sqrt{10}-2}{9}\approx 0,5>0$  

otrzymaliśmy więc, że 

$\cos \gamma >0$  

czyli kąt 𝛾 jest ostry. 

Tym samym trójkąt jest ostrokątny.