a)

Wykażemy równość

$\cos 2\alpha +\sin 2\alpha \mathrm{tg}\alpha =1$

Założenie:

tangens powinien istnieć, zatem

$\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Przekształćmy lewą stronę nierówności korzystając ze wzorów na cosinus i sinus podwojonego kąta

$L=\cos 2\alpha +\sin 2\alpha \mathrm{tg}\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=$

$={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\alpha =\underset{=1\text{ jedynka trygonometryczna}}{\underbrace{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }}=1$

otrzymaliśmy, że 

$L=P$  

czyli równość jest prawdziwa. 

c.n.d.

---

b)

Wykażemy, że równość 

$\frac{1+\sin \alpha -\cos \alpha }{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=\cos \left(\frac{2\alpha -\pi }{4}\right)$  

Założenie:

mianownik ułamka musi być różny od zera, czyli 

$2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}\ne 0\mid :2\sqrt{2}$  

$\sin \frac{\alpha }{2}\ne 0$  

$\frac{\alpha }{2}\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli

$\underline{\underline{\alpha \ne 2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

Przekształcamy lewą stronę równości korzystając ze wzorów 

$\cos \alpha =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$   $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$

mamy 

$L=\frac{1+\sin \alpha -\cos \alpha }{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{1+\sin \alpha -\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{1+2\cdot \cos \left(\frac{\alpha +\frac{\pi }{2}-\alpha }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}{2}\right)}{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{1+2\cos \left(\frac{\frac{\pi }{2}}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{2\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}\right)}{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{1+2\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{1+2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{1+\sqrt{2}\cdot \sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}{2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{\cancel{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)\right)}{2\cdot \cancel{\sqrt{2}}\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}{2\sin \frac{\alpha }{2}}=\dots$  

zauważmy, ze sin^𝜋/₄=^√2/₂ czyli mamy 

$\dots =\frac{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)+\sin \frac{\pi }{4}}{2\sin \frac{\alpha }{2}}=\dots$  

korzystając ze wzoru 

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

mamy 

$=\frac{\cancel{2}\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}}{2}\right)}{\cancel{2}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\frac{\pi }{2}}{2}\right)}{\sin \frac{\alpha }{2}}=$  

$=\frac{\cancel{\sin \frac{\alpha }{2}}\cdot \cos \left(\frac{\frac{2\alpha -\pi }{2}}{2}\right)}{\cancel{\sin \frac{\alpha }{2}}}=$  

$=\cos \left(\frac{2\alpha -\pi }{4}\right)=P$  

otrzymaliśmy, że 

$L=P$  

czyli równość jest prawdziwa. 

c.n.d.