a)

Rozwiążemy równanie 

$\cos 2x+5\sin x-3=0$  

w przedziale 

$⟨-2\pi ,\pi ⟩$  

Rozpisujemy cos2x korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy 

$1-2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$  

$-2{\sin }^{2}x+5\sin x-2=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=\sin x,t\in ⟨-1,1⟩$  

wówczas równanie jest postaci 

$-2t^2+5t-2=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)=25-16=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$t_1=\frac{-5-3}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-8}{-4}=2\notin ⟨-1,1⟩$  

$t_2=\frac{-5+3}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{1}{2}$  

czyli 

$t=\frac{1}{2}$  

wracając do podstawienia mamy 

$\sin x=\frac{1}{2}$  

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem równania w przedziale  <-2𝜋, 𝜋> są liczby rzeczywiste 

$x\in \left\{-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right\}$  

---

b)

Rozwiążemy równanie 

$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}$  

w przedziale 

$⟨0,2\pi ⟩$  

Mamy 

$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}$  

Korzystając ze wzoru sin(^𝜋/₂-𝛼)=cos𝛼 mamy 

$\sin 3x+\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)=\sqrt{2}$  

korzystając ze wzoru na sumę sinusów kątów mamy 

$2\sin \left(\frac{3x+\frac{\pi }{2}-3x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{3x-\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)}{2}\right)=\sqrt{2}$  

$2\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \left(\frac{6x-\frac{\pi }{2}}{2}\right)=\sqrt{2}$  

$2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$  

$\sqrt{2}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=1$  

użyjemy podstawienia 

$t=3x-\frac{\pi }{4},t\in \mathbb{R}$  

wtedy 

$\cos t=1$  

$t=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$3x-\frac{\pi }{4}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$3x=\frac{\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :3$  

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$  

uwzględniając podany przedział dostajemy 

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{2k\pi }{3}\wedge x\in ⟨0,2\pi ⟩\iff x=\frac{\pi }{12}\vee x=\frac{9\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}\vee x=\frac{17\pi }{12}$  

czyli rozwiązaniem równania w przedziale <0, 2𝜋> są liczby rzeczywiste 

$x\in \left\{\frac{\pi }{12},\frac{3\pi }{4},\frac{17\pi }{12}\right\}$  

---

c)

Rozwiążemy równanie 

${\left(\sin x+\cos x\right)}^2=\cos 2x$  

w przedziale 

$⟨-\pi ,2\pi ⟩$  

Mamy 

${\left(\sin x+\cos x\right)}^2=\cos 2x$  

${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=\cos 2x$  

$\underset{=1}{\underbrace{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}}+2\sin x\cos x=\cos 2x$  

$1+2\sin x\cos x=\cos 2x$  

Rozpisujemy cos2x ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i mamy 

$1+2\sin x\cos x=1-2{\sin }^{2}x\mid -1+2{\sin }^{2}x$  

$2\sin x\cos x+2{\sin }^{2}x=0$  

$2\sin x\left(\cos x+\sin x\right)=0$  

$\sin x=0\vee \cos x+\sin x=0$  

Ad.1)

$\sin x=0$  

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

uwzględniając przedział <-𝜋, 2𝜋> dostajemy

$x\in \left\{-\pi ,0,\pi ,2\pi \right\}$  

Ad.2)

$\cos x+\sin x=0$  

równość jest spełniona gdy sinus i cosinus przyjmują przeciwne wartości, czyli dla 

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

uwzględniając przedział <-𝜋, 2𝜋> dostajemy

$x=\left\{-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right\}$  

 

Zatem 1) i 2) otrzymaliśmy, że rozwiązaniem równania w przedziale <-𝜋, 2𝜋> są liczby rzeczywiste 

$x\in \left\{-\pi ,-\frac{\pi }{4},0,\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{7\pi }{4},2\pi \right\}$  

---

d)

Rozwiążemy równanie 

$\sin x-\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

w przedziale 

$⟨-2\pi ,2\pi ⟩$  

Po lewej stronie równania korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów kątów i otrzymujemy 

$\sin x-\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$2\sin \left(\frac{x-\left(\frac{\pi }{3}-x\right)}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x+\frac{\pi }{3}-x}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$2\sin \frac{2x-\frac{\pi }{3}}{2}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$2\cdot \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\sqrt{3}\cdot \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\mid :\sqrt{3}$  

$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$  

użyjemy podstawienia 

$t=x-\frac{\pi }{6},t\in \mathbb{R}$  

wtedy równanie jest postaci 

$\sin x=\frac{1}{2}$  

$t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x-\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

$x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli otrzymaliśmy, że 

$x=\pi +2k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

uwzględniając przedział <-2𝜋, 2𝜋> dostajemy

$x\in \left\{-\frac{5\pi }{3},-\pi ,\frac{\pi }{3},\pi \right\}$