Rozwiąż dane równanie...- Zadanie 7.91: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozwiążemy równanie

$1 + cos x + cos \frac{x}{2} = 0, x \in R$

Rozpisujemy cos x korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i mamy

$1 + 2 cos^{2} \frac{x}{2} - 1 + cos \frac{x}{2} = 0$

$2 cos^{2} \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2} = 0$

użyjemy podstawienia

$t = \frac{x}{2}, t \in R$

wtedy otrzymujemy

$2 cos^{2} t + cos t = 0$

$cos t (2 cos t + 1) = 0$

$cos t = 0 \lor 2 cos t + 1 = 0$

$t = \frac{π}{2} + k π, k \in Z cos t = - \frac{1}{2}$

$t = - \frac{2 π}{3} + 2 k π \lor t = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

czyli otrzymujemy, że

$t = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \lor t = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor t = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \lor \frac{x}{2} = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor \frac{x}{2} = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z ∣ \cdot 2$

$x = π + 2 k π, k \in Z x = - \frac{4 π}{3} + 4 k π, k \in Z x = \frac{4 π}{3} + 4 k π, k \in Z$

Zatem rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = π + 2 k π \lor x = - \frac{4 π}{3} + 4 k π \lor x = \frac{4 π}{3} + 4 k π, k \in Z}}$

Rozwiążemy równanie

$sin^{2} 2 x + 4 cos 2 x = 4, x \in R$

Korzystając z "jedynki trygonometrycznej" mamy

$1 - cos^{2} 2 x + 4 cos 2 x = 4$

$- cos^{2} 2 x + 4 cos 2 x - 3 = 0$

użyjemy podstawienia

$t = cos 2 x, t \in ⟨ - 1, 1 ⟩$

wtedy równanie jest postaci

$- t^{2} + 4 t - 3 = 0$

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3) = 16 - 12 = 4$

$Δ = 2$

$t_{1} = \frac{- 4 - 2}{- 2} = 3 \in / ⟨ - 1, 1 ⟩$

$t_{2} = \frac{- 4 + 2}{- 2} = 1$

czyli

$t = 1$

wracając do podstawienia mamy

$cos 2 x = 1$

$2 x = 2 k π, k \in Z ∣ : 2$

$x = k π, k \in Z$

otrzymaliśmy więc, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = k π, k \in Z}}$

Rozwiążemy równanie

$sin x - cos x = \frac{1}{2}$

korzystając ze wzoru Korzystając ze wzoru cos(^𝜋/₂-𝛼)=sin𝛼 mamy

$cos (\frac{π}{2} - x) - cos x = \frac{1}{2}$

rozpisujemy lewą stronę równania korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów kątów:

$- 2 sin (\frac{\frac{π}{2} - x + x}{2}) \cdot sin (\frac{\frac{π}{2} - x - x}{2}) = \frac{1}{2}$

$- 2 \cdot sin \frac{\frac{π}{2}}{2} \cdot sin \frac{\frac{π}{2} - 2 x}{2} = \frac{1}{2}$

$- 2 sin \frac{π}{4} \cdot sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{2}$

$- 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{2}$

$- 2 sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{1}{2} ∣ : (- 2)$

$sin (\frac{π}{4} - x) = - \frac{1}{2}$

$sin (- (x - \frac{π}{4})) = - \frac{1}{2}$

$- sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2} ∣ : (- 1)$

$sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

użyjemy podstawienia

$t = x - \frac{π}{4}, t \in R$

wtedy otrzymujemy

$sin t = \frac{1}{2}$

$t = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor t = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{5 π}{12} + 2 k π, k \in Z x = \frac{13 π}{12} + 2 k π, k \in Z$

zatem rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = \frac{5 π}{12} + 2 k π \lor x = \frac{13 π}{12} + 2 k π, k \in Z}}$

Rozwiążemy równanie

$sin^{4} x + cos^{4} x = cos 4 x, x \in R$

Mamy

$sin^{4} x + cos^{4} x + = 0 2 sin^{2} x cos^{2} x - 2 sin^{2} x cos^{2} x = cos 4 x$

$= 1 (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = cos 4 x$

$1 - = 2 \frac{1}{2} \cdot 4 sin^{2} x cos^{2} x = cos 4 x$

$1 - \frac{1}{2} (2 sin x cos x)^{2} = cos 4 x$

korzystając w nawiasie ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy

$1 - \frac{1}{2} (sin 2 x)^{2} = cos 4 x$

rozpisujemy cos4x korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i mamy

$1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x = 1 - 2 sin^{2} 2 x ∣ - 1 + 2 sin^{2} 2 x$

$\frac{3}{2} sin^{2} 2 x = 0 ∣ : \frac{3}{2}$

$sin^{2} 2 x = 0 ∣$

$∣ sin 2 x ∣ = 0$

$sin 2 x = 0$

użyjemy podstawienia

$t = 2 x, t \in Z$

wtedy równanie jest postaci

$sin t = 0$

$t = k π, k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$2 x = k π, k \in Z ∣ : 2$

$x = \frac{k π}{2}, k \in Z$

otrzymaliśmy więc, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = \frac{k π}{2}, k \in Z}}$

Rozwiążemy równanie

$cos x = sin 2 x + cos 3 x, x \in R$

Mamy

$cos x = sin 2 x + cos 3 x ∣ - cos 3 x$

$cos x - cos 3 x = sin 2 x$

po lewej stronie równania korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów kątów i otrzymujemy

$- 2 sin \frac{x + 3 x}{2} sin \frac{x - 3 x}{2} = sin 2 x$

$- 2 sin 2 x sin (- x) = sin 2 x$

$- 2 sin 2 x \cdot [- sin x] = sin 2 x$

$2 sin 2 x sin x = sin 2 x ∣ - sin 2 x$

$2 sin 2 x sin x - sin 2 x = 0$

$sin 2 x (2 sin x - 1) = 0$

$sin 2 x = 0 \lor 2 sin x - 1 = 0$

$2 x = k π, k \in Z sin x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{k π}{2}, k \in Z x = \frac{π}{6} + 2 k π \lor x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

otrzymaliśmy więc, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = \frac{k π}{2} \lor x = \frac{π}{6} + 2 k π \lor x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z}}$

Rozwiążemy równanie

$cos 4 x cos 2 x - sin 3 x sin 5 x = 0, x \in R$

Zauważmy, że korzystając ze wzorów na sumę cosinusów kątów i różnicę cosinusów kątów możemy zapisać

$cos 4 x cos 2 x = cos (\frac{6 x + 2 x}{2}) \cdot cos (\frac{6 x - 2 x}{2}) = \frac{1}{2} (cos 6 x + cos 2 x)$
$sin 3 x sin 5 x = sin (\frac{8 x - 2 x}{2}) \cdot sin (\frac{8 x + 2 x}{2}) = - \frac{1}{2} (cos 8 x - cos 2 x)$