Rozwiąż równanie...- Zadanie 7.92: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$t g \frac{x}{2} + ct g \frac{x}{2} - 2 = 0$

Dziedzina:

tangens i cotangens musi być określony, czyli

$\frac{x}{2} \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \land \frac{x}{2} \neq = k π, k \in Z$

$x \neq = π + 2 k π, k \in Z x \neq = 2 k π, k \in Z$

czyli

$\underline{\underline{x \neq = k π, k \in Z}}$

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$t g \frac{x}{2} + ct g \frac{x}{2} - 2 = 0$

$\frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} + \frac{cos \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}} - 2 = 0$

$\frac{sin ^{2} \frac{x}{2} + cos ^{2} \frac{x}{2} 1}{sin \frac{x}{2} \cdot cos \frac{x}{2}} - 2 = 0$

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}} - 2 = 0$

w mianowniku ułamka korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta i mamy

$\frac{2}{sin x} - 2 = 0 ∣ \cdot sin x \neq = 0$

$2 - 2 sin x = 0 ∣ - 2$

$- 2 sin x = - 2 ∣ : (- 2)$

$sin x = 1$

$x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

otrzymaliśmy więc, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z}}$

$sin x \cdot cos 3 x = t g x \cdot cos^{2} x$

Dziedzina:

tangens musi być określony, czyli

$\underline{\underline{x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z}}$

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$sin x \cdot cos 3 x = t g x \cdot cos^{2} x$

$sin x \cdot cos 3 x = \frac{sin x}{cos x} \cdot cos^{2} x$

$sin x \cdot cos 3 x = sin x \cdot cos x ∣ - sin x \cdot cos x$

$sin x \cdot cos 3 x - sin x \cdot cos x = 0$

$sin x (cos 3 x - cos x) = 0$

w nawiasie korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów kątów i mamy

$sin x \cdot (- 2 sin \frac{3 x + x}{2} sin \frac{3 x - x}{2}) = 0$

$sin x \cdot (- 2 \cdot sin 2 x sin x) = 0$

$- 2 sin 2 x \cdot sin^{2} x = 0 ∣ : (- 2)$

$sin 2 x \cdot sin^{2} x = 0$

$sin 2 x = 0 \lor sin^{2} x = 0$

$2 x = k π, k \in Z ∣ sin x ∣ = 0$

$x = \frac{k π}{2}, k \in Z sin x = 0$

$x = k π, k \in Z$

czyli otrzymaliśmy, że

$x = \frac{k π}{2} \lor x = k π, k \in Z$

uwzględniając dziedzinę równania dostajemy, że

$\underline{\underline{x = k π, k \in Z}}$

$cos 2 x + sin 4 x \cdot ct g 2 x = 0$

Dziedzina:

cotangens musi być określony, czyli

$2 x \neq = k π, k \in Z$

$\underline{\underline{x \neq = \frac{k π}{2}, k \in Z}}$

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$cos 2 x + sin 4 x \cdot ct g 2 x = 0$

$cos 2 x + sin 4 x \cdot \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = 0$

Rozpisujemy sin4x korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta

$cos 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x \cdot \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = 0$

$cos 2 x + 2 cos^{2} 2 x = 0$

$cos 2 x (1 + 2 cos 2 x) = 0$

użyjemy podstawienia

$t = 2 x, x \in R$

wtedy równanie jest postaci

$cos t (1 + 2 cos t) = 0$

$cos t = 0 \lor 1 + 2 cos t = 0$

$t = \frac{π}{2} + k π, k \in Z cos t = - \frac{1}{2}$

$t = - \frac{2 π}{3} + 2 k π \lor t = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

czyli otrzymaliśmy, że

$t = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \lor t = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor t = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

wracając do podstawienia mamy

$2 x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z \lor 2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor 2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z x = - \frac{π}{3} + k π, k \in Z x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$

otrzymaliśmy więc, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci

$\underline{\underline{x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} \lor x = - \frac{π}{3} + k π \lor x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z}}$

$\frac{cos \frac{3 x}{2} \cdot ct g \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} + \frac{sin \frac{3 x}{2} t g \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}} = 2$

Dziedzina:

cotangens i tangens musi być określony, czyli

$\frac{x}{2} \neq = k π, k \in Z \land \frac{x}{2} \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$x \neq = 2 k π, k \in Z x \neq = π + 2 k π, k \in Z$

czyli

$\underline{\underline{x \neq = k π, k \in Z}}$

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{cos \frac{3 x}{2} \cdot ct g \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} + \frac{sin \frac{3 x}{2} t g \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}} = 2$

$\frac{cos \frac{3 x}{2} \cdot \frac{c o s \frac{x}{2}}{s i n \frac{x}{2}}}{cos \frac{x}{2}} + \frac{sin \frac{3 x}{2} \cdot \frac{s i n \frac{x}{2}}{c o s \frac{x}{2}}}{sin \frac{x}{2}} = 2$

$\frac{cos \frac{3 x}{2} \cdot cos \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2} \cdot cos \frac{x}{2}} + \frac{sin \frac{3 x}{2} \cdot sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2} \cdot sin \frac{x}{2}} = 2$