a)

Rozwiążemy równanie 

$2\cos x+3=4\cos \frac{x}{2},x\in \mathbb{R}$  

Rozpisujemy cosx ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i otrzymujemy 

$2\cdot \left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-1\right)+3=4\cos \frac{x}{2}$  

$4{\cos }^2\frac{x}{2}-2+3=4\cos \frac{x}{2}$  

$4{\cos }^2\frac{x}{2}+1=4\cos \frac{x}{2}$  

$4{\cos }^2\frac{x}{2}-4\cos \frac{x}{2}+1=0$  

${\left(2\cos \frac{x}{2}-1\right)}^2=0\mid \sqrt{}$  

$\left|2\cos \frac{x}{2}-1\right|=0$  

$2\cos \frac{x}{2}-1=0$  

$2\cos \frac{x}{2}=1\mid :2$  

$\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$  

użyjemy podstawienia 

$t=\frac{x}{2},t\in \mathbb{R}$  

wtedy równanie jest postaci 

$\cos t=\frac{1}{2}$  

$t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia dostajemy 

$\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee \frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x=-\frac{2\pi }{3}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{2\pi }{3}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=-\frac{2\pi }{3}+4k\pi \vee x=\frac{2\pi }{3}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$   

---

b)

Rozwiążemy równanie 

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1,x\in \mathbb{R}$  

Mamy 

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\mid :2$  

$\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$  

Korzystając z tego, że 

• $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$  
• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

dostajemy 

$\underset{=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{\underbrace{\cos \frac{\pi }{3}\sin x+\sin \frac{\pi }{3}\cos x}}=\frac{1}{2}$  

$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$  

użyjemy podstawienia 

$t=x+\frac{\pi }{3},t\in \mathbb{R}$  

wtedy mamy 

$\sin t=\frac{1}{2}$  

$t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

c)

Rozwiążemy równanie 

$\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0$  

korzystając ze wzoru na sumę cosinusów kątów i dostajemy 

$2\cos \frac{x+x-\frac{\pi }{4}}{2}\cos \frac{x-\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}{2}=0$  

$2\cos \frac{2x-\frac{\pi }{4}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{4}}{2}=0$  

$2\cos \left(x-\frac{\pi }{8}\right)\cos \frac{\pi }{8}=0\mid :2\cos \frac{\pi }{8}$  

$\cos \left(x-\frac{\pi }{8}\right)=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=x-\frac{\pi }{8},t\in \mathbb{R}$  

wtedy równanie jest postaci 

$\cos t=0$  

$t=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$x-\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid +\frac{\pi }{8}$

$x=\frac{5\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{5\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

d)

Rozwiążemy równanie 

$\sin x+\sin 3x+\sin 5x=0,x\in \mathbb{R}$  

Mamy 

$\left(\sin 5x+\sin x\right)+\sin 3x=0$  

korzystając ze wzoru na sumę sinusów kątów mamy 

$2\sin \frac{5x+x}{2}\cos \frac{5x-x}{2}+\sin 3x=0$  

$2\sin \frac{6x}{2}\cos \frac{4x}{2}+\sin 3x=0$  

$2\sin 3x\cos 2x+\sin 3x=0$  

$\sin 3x\left(2\cos 2x+1\right)=0$  

$\sin 3x=0\vee 2\cos 2x+1=0$  

Ad.1)

Rozwiązujemy pierwsze równanie i otrzymujemy 

$\sin 3x=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=3x,t\in \mathbb{R}$  

wtedy 

$\sin t=0$  

$t=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$3x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :3$  

$x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$  

Ad.2)

Rozwiązujemy drugie równanie i otrzymujemy 

$2\cos 2x+1=0$  

$\cos 2x=-\frac{1}{2}$  

użyjemy podstawienia 

$m=2x$  

wtedy 

$\cos m=-\frac{1}{2}$  

$m=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee m=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee 2x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

 

Zatem z 1) i 2) otrzymujemy, że 

$x=\frac{k\pi }{3}\vee x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

co można zapisać krócej 

$x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}}}$  

---

e)

Rozwiążemy równanie 

$\cos x\cdot \sin 7x=\cos 3x\cdot \sin 5x,x\in \mathbb{R}$  

Mamy 

$\underset{=\cos x}{\underbrace{\cos \left(\frac{8x-6x}{2}\right)}}\cdot \underset{=\sin 7x}{\underbrace{\sin \left(\frac{8x+6x}{2}\right)}}=\underset{=\cos 3x}{\underbrace{\cos \left(\frac{8x-2x}{2}\right)}}\cdot \underset{=\sin 5x}{\underbrace{\sin \left(\frac{8x+2x}{2}\right)}}$  

ze wzoru na sumę sinusów kątów dostajemy 

$\frac{1}{2}\left(\sin 8x+\sin 6x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin 8x+\sin 2x\right)\mid :\frac{1}{2}$  

$\sin 8x+\sin 6x=\sin 8x+\sin 2x\mid -\sin 8x-\sin 2x$  

$\sin 6x-\sin 2x=0$  

korzystając ze wzoru na różnicę sinusów kątów dostajemy 

$2\sin \frac{6x-2x}{2}\cos \frac{6x+2x}{2}=0$  

$2\sin 2x\cos 4x=0\mid :2$  

$\sin 2x\cos 4x=0$  

$\sin 2x=0\vee \cos 4x=0$  

Ad.1) 

Rozwiązując pierwsze równanie

$\sin 2x=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=2x,t\in \mathbb{R}$  

wtedy 

$\sin t=0$  

$t=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

Ad.2)

Rozwiązujemy drugie równanie

$\cos 4x=0$  

użyjemy podstawienia 

$m=4x,m\in \mathbb{R}$  

wtedy 

$\cos m=0$  

$m=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$4x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :4$  

$x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$  

 

Zatem z 1) i 2) otrzymujemy, że 

$x=\frac{k\pi }{2}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{k\pi }{2}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}}}$  

---

f)

Rozwiążemy równanie 

${\sin }^4\frac{x}{3}+{\cos }^4\frac{x}{3}=\frac{5}{8},x\in \mathbb{R}$  

Mamy 

${\sin }^4\frac{x}{3}+{\cos }^4\frac{x}{3}+2{\sin }^2\frac{x}{3}{\cos }^2\frac{x}{3}-2{\sin }^2\frac{x}{3}{\cos }^2\frac{x}{3}=\frac{5}{8}$  

$\underset{=1}{\underbrace{{\left({\sin }^2\frac{x}{3}+{\cos }^2\frac{x}{3}\right)}^2}}-2{\sin }^2\frac{x}{3}{\cos }^2\frac{x}{3}=\frac{5}{8}$  

$1-\frac{1}{2}\cdot 4{\sin }^2\frac{x}{3}{\cos }^2\frac{x}{3}=\frac{5}{8}\mid -1$  

$-\frac{1}{2}\cdot {\left(2\sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\right)}^2=-\frac{3}{8}$  

korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta mamy 

$-\frac{1}{2}\cdot {\left(\sin \frac{2x}{3}\right)}^2=-\frac{3}{8}$  

$-\frac{1}{2}\cdot {\sin }^2\frac{2x}{3}=-\frac{3}{8}\mid :\left(-\frac{1}{2}\right)$  

${\sin }^2\frac{2x}{3}=\frac{3}{4}$  

użyjemy podstawienia 

$t=\frac{2x}{3},t\in \mathbb{R}$  

wtedy 

${\sin }^{2}t=\frac{3}{4}\mid \sqrt{}$  

$\left|\sin t\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

z własności wartości bezwzględnej mamy

$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}\vee \sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Korzystając z rysunku mamy

• $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff t=\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee t=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  
• $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff t=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \vee t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli 

$t=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \vee t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee t=\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee t=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$\frac{2x}{3}=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \vee \frac{2x}{3}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee \frac{2x}{3}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

$x=-\pi +3k\pi x=-\frac{\pi }{2}+3k\pi x=\frac{\pi }{2}+3k\pi x=\pi +3k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=-\pi +3k\pi \vee x=-\frac{\pi }{2}+3k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+3k\pi \vee x=\pi +3k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$