a)

Rozwiążemy równanie 

$\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=1,x\in \mathbb{R}$  

Korzystamy z tego, że 

• $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$
• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$   

Wtedy mamy 

$\sin \frac{\pi }{6}\cos x-\cos \frac{\pi }{6}\sin x=1$  

po lewej stronie równania korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów i otrzymujemy 

$\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=1$  

$\sin \left(-\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right)=1$  

$-\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=1\mid :\left(-1\right)$  

$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$  

użyjemy podstawienia 

$t=x-\frac{\pi }{6},t\in \mathbb{R}$  

wtedy równanie jest postaci 

$\sin t=-1$  

$t=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$x-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid +\frac{\pi }{6}$  

$x=\frac{5\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli otrzymaliśmy, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{5\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

b)

Rozwiążemy równanie

$\sin x+\sin 3x=\sin 2x,x\in \mathbb{R}$  

po lewej stronie równania korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kątów i dostajemy 

$2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}=\sin 2x$  

$2\sin 2x\cdot \underset{=\cos x}{\underbrace{\cos \left(-x\right)}}=\sin 2x$  

$2\sin 2x\cdot \cos x-\sin 2x=0$  

$\sin 2x\left(2\cos x-1\right)=0$  

$\sin 2x=0\vee 2\cos x-1=0$  

Ad.1)

Rozwiązując pierwsze równanie mamy 

$\sin 2x=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=2x,t\in \mathbb{R}$  

wtedy równanie jest postaci 

$\sin t=0$  

$t=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :2$  

$\underline{x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}}$  

Ad. 2) 

Rozwiązując drugie równanie mamy 

$2\cos x-1=0\mid +1$  

$2\cos x=1\mid :2$  

$\cos x=\frac{1}{2}$  

$\underline{x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

 

Zatem z 1) i 2) otrzymujemy, że 

$x=\frac{k\pi }{2}\vee x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{k\pi }{2}\vee x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

c)

Rozwiążemy równanie 

${\sin }^{4}x=1+{\cos }^{4}x,x\in \mathbb{R}$  

${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=1$  

$\underset{=1}{\underbrace{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}}\cdot \left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)=1$  

${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=1$  

$-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=1$  

po lewej stronie równania korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i mamy 

$-\cos 2x=1\mid :\left(-1\right)$  

$\cos 2x=-1$  

użyjemy podstawienia 

$t=2x,t\in \mathbb{R}$  

wtedy otrzymujemy 

$\cos t=-1$  

$t=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :2$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

otrzymaliśmy więc, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

d)

Rozwiążemy równanie 

${\sin }^{2}x-\cos 2x=2,x\in \mathbb{R}$  

Rozpisujmy cos2x korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i mamy 

${\sin }^{2}x-\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=2$  

${\sin }^{2}x-1+2{\sin }^{2}x=2\mid +1$  

$3{\sin }^{2}x=3\mid :3$  

${\sin }^{2}x=1\mid \sqrt{}$  

$\left|\sin x\right|=1$  

korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$\sin x=1\vee \sin x=-1$  

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli otrzymaliśmy, że 

$x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

co prościej można zapisać jako 

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

e)

Rozwiążemy równanie 

$\frac{\sin 2x}{2}+{\sin }^{2}x=\cos x+\sin x,x\in \mathbb{R}$  

Rozpisujemy sin2x korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta i mamy 

$\frac{2\sin x\cos x}{2}+{\sin }^{2}x=\cos x+\sin x$  

$\sin x\cos x+{\sin }^{2}x=\cos x+\sin x$  

$\sin x\left(\cos x+\sin x\right)=\cos x+\sin x$  

$\sin x\left(\cos x+\sin x\right)-\left(\cos x+\sin x\right)=0$  

$\left(\cos x+\sin x\right)\left(\sin x-1\right)=0$  

$\cos x+\sin x=0\vee \sin x-1=0$  

Ad. 1) 

Rozwiązujemy pierwsze równanie i mamy 

$\cos x+\sin x=0$  

$\cos x=-\sin x$  

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

$\underline{x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

Ad. 2) 

Rozwiązując drugie równanie mamy 

$\sin x-1=0$  

$\sin x=1$  

$\underline{x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

 

Zatem z 1) i 2) otrzymujemy, że 

$x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$\underline{\underline{x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}}}$  

---

f)

Rozwiążemy równanie 

$\sin x\cdot \sin 2x=\cos x\cdot \cos 2x,x\in \mathbb{R}$  

$0=\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x$  

korzystając ze wzoru na cosinus sumy kątów dostajemy 

$0=\cos \left(x+2x\right)$

$0=\cos 3x$  

czyli 

$\cos 3x=0$  

niech 

$t=3x,t\in \mathbb{R}$  

wówczas równanie jest postaci 

$\cos t=0$  

$t=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia dostajemy 

$3x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid :3$  

$\underline{\underline{x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}}}$