Przedstaw dane wyrażenie...- Zadanie 7.79: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝛼 i 𝛽 prawdziwe są wzory:

$sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$
$sin α - sin β = 2 sin \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α + β}{2}$
$cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}$
$cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} \cdot sin \frac{α - β}{2}$

Korzystając z tego, że cos0=1 mamy

$1 + cos (α - β) = cos 0 + cos (α - β) = cos (α - β) + cos 0 = \dots$

korzystając ze wzoru na sumę cosinusów kątów dostajemy

$\dots = 2 cos \frac{α - β + 0}{2} cos \frac{α - β - 0}{2} =$

$= 2 cos \frac{α - β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2} = 2 cos^{2} \frac{α - β}{2}$

korzystając z tego, że 1=sin^𝜋/₂ mamy

$1 + sin (α + β) = sin \frac{π}{2} + sin (α + β) = \dots$

korzystając ze wzoru na sumę sinusów kątów dostajemy

$\dots = 2 \cdot sin \frac{\frac{π}{2} + ( α + β )}{2} cos \frac{\frac{π}{2} - ( α + β )}{2} = 2 \cdot sin (\frac{π}{4} + \frac{α + β}{2}) cos (\frac{π}{4} - \frac{α + β}{2})$

Przekształcając podane wyrażenie mamy

$2 + 2 cos α = 2 (\frac{2}{2} + cos α) = \dots$

korzystając z tego, że^√2/₂=cos^𝜋/₄ mamy

$\dots = 2 (\frac{2}{2} + cos α) = 2 (cos \frac{π}{4} + cos α) = \dots$

korzystając ze wzoru na sumę cosinusów kątów dostajemy

$\dots = 2 \cdot 2 cos \frac{\frac{π}{4} + α}{2} cos \frac{\frac{π}{4} - α}{2} = 4 cos (\frac{π}{8} + \frac{α}{2}) cos (\frac{π}{8} - \frac{α}{2})$

Korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy

$1 + cos α + cos \frac{α}{2} = 1 + 2 cos^{2} \frac{α}{2} - 1 + cos \frac{α}{2} = cos \frac{α}{2} + 2 cos^{2} \frac{α}{2} =$

$= 2 cos \frac{α}{2} (\frac{1}{2} + cos \frac{α}{2}) = \dots$

korzystając z tego, że¹/₂=cos^𝜋/₃ mamy

$\dots = 2 cos \frac{α}{2} (cos \frac{π}{3} + cos \frac{α}{2}) = \dots$

korzystając ze wzoru na sumę cosinusów kątów mamy

$\dots = 2 cos \frac{α}{2} \cdot 2 cos \frac{\frac{π}{3} + \frac{α}{2}}{2} cos \frac{\frac{π}{3} - \frac{α}{2}}{2} =$

$= 4 cos \frac{α}{2} \cdot cos (\frac{π}{6} + \frac{α}{4}) cos (\frac{π}{6} - \frac{α}{4})$

Przekształcając podane wyrażenie mamy

$2 cos α - 2 sin α = 2 (\frac{2}{2} cos α - \frac{2}{2} sin α) = \dots$

korzystając z tego, że

$\frac{2}{2} = sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4}$

możemy zapisać

$\dots = 2 (sin \frac{π}{4} cos α - cos \frac{π}{4} sin α) = \dots$

korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów dostajemy

$\dots = 2 sin (\frac{π}{4} - α)$

UWAGA!!

Zauważmy, że odpowiedź w zadaniu jest taka sama jak odpowiedź na końcu zbioru, ponieważ

$2 sin (\frac{π}{4} - α) = 2 sin (- (α - \frac{π}{4})) = - 2 sin (α - \frac{π}{4})$

Korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów kątów mamy

$cos α + sin 2 α - cos 3 α = (cos α - cos 3 α) + sin 2 α =$

$= - 2 sin \frac{α + 3 α}{2} sin \frac{α - 3 α}{2} + sin 2 α = - 2 sin \frac{4 α}{2} sin \frac{- 2 α}{2} + sin 2 α =$

$= - 2 sin 2 α \cdot = - s i n α sin (- α) + sin 2 α = 2 sin 2 α sin α + sin 2 α =$

$= sin 2 α + 2 sin 2 α sin α = 2 sin 2 α (\frac{1}{2} + sin α) = \dots$

korzystając z tego, że ¹/₂=sin^𝜋/₆ mamy

$\dots = 2 sin 2 α (sin \frac{π}{6} + sin α) = \dots$

korzystając ze wzoru na sumę sinusów kątów mamy

$\dots = 2 sin 2 α \cdot 2 sin \frac{\frac{π}{6} + α}{2} cos \frac{\frac{π}{6} - α}{2} = 4 sin 2 α \cdot sin (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) cos (\frac{π}{12} - \frac{α}{2})$