a) Rozwiążemy równanie 

$\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4},x\in ⟨-\pi ,-\frac{\pi }{2})\cup \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$  

Wiemy, że 

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$  

czyli równanie jest postaci 

$\mathrm{tg}x=1$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

 

Z wykresu funkcji tangens odczytujemy rozwiązanie równania w podanym zbiorze

$x\in \left\{-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right\}$  

---

b) Rozwiążemy równanie 

$\sin x-\sin \frac{7\pi }{6}=0,x\in ⟨-\pi ,2\pi ⟩$  

Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy

$\sin \frac{7\pi }{6}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$  

czyli równanie jest postaci 

$\sin x-\left(-\frac{1}{2}\right)=0$  

$\sin x+\frac{1}{2}=0$  

$\sin x=-\frac{1}{2}$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązanie równania w podanym zbiorze

$x\in \left\{-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right\}$  

---

c) Rozwiążemy równanie 

$3\left(\sqrt{3}-1\right)\mathrm{ctg}x=3-\sqrt{3},x\in \left(0,\pi \right)\cup \left(\pi ,2\pi \right)$  

Przekształcając równanie mamy 

$3\left(\sqrt{3}-1\right)\mathrm{ctg}x=3-\sqrt{3}\mid :3\left(\sqrt{3}-1\right)$  

$\mathrm{ctg}x=\frac{3-\sqrt{3}}{3\left(\sqrt{3}-1\right)}$  

usuwając niewymierność z mianownika ułamka mamy 

$\mathrm{ctg}x=\frac{3-\sqrt{3}}{3\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{3\sqrt{3}+3-3-\sqrt{3}}{3\left({\sqrt{3}}^2-1^2\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{3\cdot \left(3-1\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{3\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

czyli otrzymaliśmy, że 

$\mathrm{ctg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Z wykresu funkcji cotangens odczytujemy rozwiązanie równania w podanym zbiorze

$x\in \left\{\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right\}$  

---

d) Rozwiążemy równanie 

$2{\sin }^{2}x-1=0,x\in ⟨-\pi ,\pi ⟩$  

Przekształcamy równanie i otrzymujemy 

$2{\sin }^{2}x=1\mid :2$  

${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\mid \sqrt{}$  

$\left|\sin x\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\vee \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązanie równania w podanym zbiorze

$x\in \left\{-\frac{3\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right\}$  

---

e) Rozwiążemy równanie 

$4{\cos }^{2}x+1=4\cos x,x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2}⟩$  

Przekształcamy równanie i otrzymujemy 

$4{\cos }^{2}x-4\cos x+1=0$  

${\left(2\cos x-1\right)}^2=0$  

$\left|2\cos x-1\right|=0$  

$2\cos x-1=0$  

$2\cos x=1\mid :2$  

$\cos x=\frac{1}{2}$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Z wykresu funkcji cosinus odczytujemy rozwiązanie równania w podanym zbiorze

$x\in \left\{-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right\}$  

---

f) Rozwiążemy równanie 

$\sin x\cdot \left(4{\cos }^{2}x-3\right)=0,x\in ⟨-2\pi ,\frac{\pi }{2}⟩$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\Rightarrow {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$  

mamy 

$\sin x\cdot \left(4\cdot \left(1-{\sin }^{2}x\right)-3\right)=0$  

$\sin x\cdot \left(4-4{\sin }^{2}x-3\right)=0$  

$\sin x\cdot \left(1-4{\sin }^{2}x\right)=0$  

$\sin x=0\vee 1-4{\sin }^{2}x=0$  

${\sin }^{2}x=\frac{1}{4}$  

$\left|\sin x\right|=\frac{1}{2}$  

$\sin x=\frac{1}{2}\vee \sin x=-\frac{1}{2}$  

czyli 

$\sin x=-\frac{1}{2}\vee \sin x=0\vee \sin x=\frac{1}{2}$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązanie równania w podanym zbiorze

$x\in \left\{-2\pi ,-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},-\pi ,-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},0,\frac{\pi }{6}\right\}$