a)

Rozwiążemy równanie

$\mathrm{tg}x-2=\mathrm{tg}\left(\pi -x\right)$

Korzystając ze wzoru tg(𝜋-𝛼)=-tg𝛼 równanie możemy przekształcić do postaci 

$\mathrm{tg}x-2=-\mathrm{tg}x$

$2\mathrm{tg}x=2\mid :2$  

$\mathrm{tg}x=1$  

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji  

$y=\mathrm{tg}x\text{i}y=1$  

Otrzymujemy 

W przedziale (-^π/₂, ^π/₂) mamy 

$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}$  

Zatem w zbiorze R otrzymujemy, że 

$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

b)

Rozwiążemy równanie

$\sin \left(-x\right)+3\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$

Korzystając ze wzorów sin(-𝛼)=-sin𝛼 oraz cos(^𝜋/₂-𝛼)=sin𝛼 równanie możemy przekształcić do postaci

$-\sin x+3\sin x=1$

$2\sin x=1\mid :2$  

$\sin x=\frac{1}{2}$  

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji  

$y=\sin x\text{i}y=\frac{1}{2}$  

Otrzymujemy 

W przedziale (0, 2𝜋) zauważmy, że 

$\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{5\pi }{6}$  

Zatem w zbiorze R otrzymujemy, że 

$\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

c)

Rozwiążemy równanie

$\sin x=\sin \left(x-\pi \right)-1$

Korzystając ze wzoru sin(-𝛼)=-sin𝛼 mamy 

$\sin x=-\sin \left(\pi -x\right)-1$

Korzystamy ze wzoru sin(𝜋-𝛼)=sin𝛼 i otrzymujemy 

$\sin x=-\sin x-1$  

$2\sin x=-1\mid :2$  

$\sin x=-\frac{1}{2}$  

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji  

$y=\sin x\text{i}y=-\frac{1}{2}$  

Otrzymujemy 

W przedziale (-^π/₂, ^3π/₂) mamy 

$\sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{7\pi }{6}$  

Zatem w zbiorze R otrzymujemy, że 

$\sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

d)

Rozwiążemy równanie

$2\mathrm{ctg}\left(2\pi -x\right)=1-\mathrm{ctg}x$  

Korzystając ze wzoru ctg(2𝜋-𝛼)=-ctg𝛼 równanie możemy przekształcić do postaci

$-2\mathrm{ctg}x=1-\mathrm{ctg}x$

$-\mathrm{ctg}x=1\mid :\left(-1\right)$  

$\mathrm{ctg}x=-1$  

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji  

$y=\mathrm{ctg}x\text{i}y=-1$  

Otrzymujemy 

W przedziale (-𝜋,0) zauważmy, że 

$\mathrm{ctg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}$  

Zatem w zbiorze R otrzymujemy, że 

$\mathrm{ctg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

e)

Przekształcamy podane równanie i otrzymujemy 

$\sin \left(\frac{\pi +2x}{2}\right)+2\sin \left(\frac{3\pi +2x}{2}\right)=0$  

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)+2\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=0$  

Korzystając ze wzorów redukcyjnych sin(^𝜋/₂+𝛼)=cos𝛼 i sin(^3𝜋/₂+𝛼)=-cos𝛼 dostajemy 

$\cos x-2\cos x=0$   

$-\cos x=0\mid :\left(-1\right)$  

$\cos x=0$  

Korzystając z wykresu funkcji cosinus 

dostajemy, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

f)

Przekształcamy podane równanie i otrzymujemy 

$\cos \left(-x-\pi \right)+2\sin \left(\frac{-\pi -2x}{2}\right)=3$  

$\cos \left(-\left(x+\pi \right)\right)+2\sin \left(-\left(\frac{\pi }{2}+x\right)\right)=3$  

Korzystając ze wzorów cos(-𝛼)=cos𝛼 i sin(-𝛼)=-sin𝛼 otrzymujemy 

$\cos \left(\pi +x\right)-2\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=3$  

ze wzorów redukcyjnych cos(𝜋+𝛼)=-cos𝛼 i sin(^𝜋/₂+𝛼)=cos𝛼 otrzymujemy 

$-\cos x-2\cos x=3$  

$-3\cos x=3\mid :\left(-3\right)$  

$\cos x=-1$  

W jednym układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji  

$y=\cos x\text{i}y=-1$  

Otrzymujemy 

Korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$