a) Rozwiążemy równanie 

$\cos x\cdot \sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)+1=0$  

Korzystając ze wzoru redukcyjnego sin(^3𝜋/₂+𝛼)=-cos𝛼 mamy 

$\cos x\cdot \left(-\cos x\right)+1=0$  

$-{\cos }^{2}x=-1\mid :\left(-1\right)$  

${\cos }^{2}x=1\mid \sqrt{}$  

$\left|\cos x\right|=1$  

$\cos x=1\vee \cos x=-1$  

Przyjrzyjmy się rysunkowi 

Korzystając z wykresu funkcji cosinus dostajemy, że

• $\cos x=1\iff x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
• $\cos x=-1\iff x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$   

czyli rozwiązaniem równania są liczby rzeczywiste postaci 

$x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

co można zapisać krócej 

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

b) Rozwiążemy równanie 

$\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sin x+1\right)=0$  

Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero, gdy co najmniej jedno z tych wyrażeń jest równe zero, czyli 

$2\cos x-\sqrt{3}=0\vee \sin x+1=0$  

$2\cos x=\sqrt{3}\sin x=-1$  

$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Przyjrzyjmy się poniższym rysunkom:

     

Otrzymujemy  

• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Mamy 

• $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem otrzymujemy, że podane równanie spełniają liczby rzeczywiste postaci 

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

c) Rozwiążemy równanie 

$\cos x\cdot \sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\cos x$  

użyjemy podstawienia 

$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4},t\in \mathbb{R}$

wtedy równanie jest postaci 

$\cos x\cdot \sin t=\cos x$  

$\cos x\cdot \sin t-\cos x=0$  

$\cos x\left(\sin t-1\right)=0$   

$\cos x=0\vee \sin t-1=0$  

$\sin t=1$  

Ad.1)

$\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Uwaga!

Zauważmy, że jeśli w taki sposób zapiszemy rozwiązanie, to obejmie ono liczby $\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi ,\dots$, jak również $-\frac{\pi }{2},-\frac{3}{2}\pi ,\dots$

Ad.2)

$\sin t=1$  

$t=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$\frac{x}{2}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\mid \cdot 2$  

$x=\frac{3\pi }{2}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że podane równanie spełniają liczby rzeczywiste postaci 

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{3\pi }{2}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

co można zapisać krócej

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

d) Rozwiążemy równanie 

${\mathrm{tg}}^2\left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\mathrm{ctg}x,x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

Dziedzina:

Funkcje tangens i cotangens muszą być określone, czyli 

$\frac{\pi }{2}+x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

skąd mamy 

$\underline{x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

Korzystając ze wzoru redukcyjnego tg(^𝜋/₂+𝛼)=-ctg𝛼 mamy

${\mathrm{ctg}}^{2}x=\mathrm{ctg}x$  

${\mathrm{ctg}}^{2}x-\mathrm{ctg}x=0$  

$\mathrm{ctg}x\left(\mathrm{ctg}x-1\right)=0$  

$\mathrm{ctg}x=0\vee \mathrm{ctg}x=1$  

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli dostajemy, że podane równanie spełniają liczby rzeczywiste postaci 

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

---

e) Rozwiążemy równanie

$\sin \left(2\pi -x\right)\cdot \mathrm{tg}x=\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}$  

Dziedzina:

$\cos x\ne 0$  

$\underline{x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

Korzystając ze wzoru redukcyjnego sin(2𝜋-𝛼)=-sin𝛼 mamy

$-\sin x\cdot \mathrm{tg}x=\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}$  

$-\sin x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}$  

$-\frac{{\sin }^{2}x}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}$  

Rozpisujemy sin²x korzystając z "jedynki trygonometrycznej" i mamy 

$-\frac{1-{\cos }^{2}x}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}$  

$\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x-1}{\cos x}$  

otrzymaliśmy równanie tożsamościowe. 

Zatem jego rozwiązaniem są liczby rzeczywiste należące do dziedziny, czyli 

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

---

f) Rozwiążemy równanie 

${\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=0$  

${\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\cos \left(-\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\right)=0$  

Korzystamy z tożsamości cos(-𝛼)=cos𝛼 i mamy 

${\cos }^2\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)-\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=2x-\frac{\pi }{6}$  

wtedy równanie jest postaci 

${\cos }^{2}t-\cos t=0$  

$\cos t\left(\cos t-1\right)=0$  

$\cos t=0\vee \cos t-1=0$  

$\cos t=1$  

Ad.1)

$\cos t=0$  

$t=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$2x=\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

czyli

$\underline{x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}}$  

Ad.2)

$\cos t=1$  

$t=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x-\frac{\pi }{6}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$2x=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

więc

$\underline{x=\frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że podane równanie spełniają liczby rzeczywiste postaci 

$x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\vee x=\frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$