a) Dane jest równanie 

$2\left(\sin x\cdot \mathrm{ctg}x+\sqrt{3}\sin x\right)=3+\sqrt{3}\mathrm{ctg}x,x\in ⟨0,2\pi ⟩$  

Dziedzina:

Cotangens musi być określony, czyli 

$\underline{x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

Przekształcając równanie otrzymujemy 

$2\left(\sin x\cdot \mathrm{ctg}x+\sqrt{3}\sin x\right)=3+\sqrt{3}\mathrm{ctg}x$  

$2\sin x\cdot \mathrm{ctg}x+2\sqrt{3}\sin x=3+\sqrt{3}\mathrm{ctg}x$  

$2\sin x\cdot \mathrm{ctg}x-\sqrt{3}\mathrm{ctg}x+2\sqrt{3}\sin x-3=0$  

$\mathrm{ctg}x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0$  

$\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\left(\mathrm{ctg}x+\sqrt{3}\right)=0$  

$2\sin x-\sqrt{3}=0\vee \mathrm{ctg}x+\sqrt{3}=0$  

$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{ctg}x=-\sqrt{3}$  

Ad.1)

$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Szkicujemy wykres funkcji y = sinx 

Korzystając z rysunku dostajemy, że 

$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\wedge x\in ⟨0,2\pi ⟩\wedge x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{2\pi }{3}$  

Ad.2)

Szkicujemy wykres funkcji y = ctgx

Korzystając z rysunku dostajemy, że

$\mathrm{ctg}x=-\sqrt{3}\wedge x\in ⟨0,2\pi ⟩\wedge x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{5\pi }{6}\vee x=\frac{11\pi }{6}$

Zatem 1) i 2) dostajemy, że 

$\underline{\underline{x\in \left\{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right\}}}$  

---

b) Rozwiążemy równanie 

$\left({\cos }^{2}x-1\right)\cdot \sin x=0,x\in ⟨-2\pi ,2\pi ⟩$  

Iloczyn dwóch wyrażeń jest równy zero, wtedy gdy co najmniej jedno z tych wyrażeń jest równe zero, czyli 

${\cos }^{2}x-1=0\vee \sin x=0$  

Ad.1)

${\cos }^{2}x-1=0$  

${\cos }^{2}x=1$  

$\left|\cos x\right|=1$  

$\cos x=1\vee \cos x=-1$  

Korzystając z rysunku 

odczytujemy rozwiązania w przedziale <-2𝜋, 2𝜋>

$x\in \left\{-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi \right\}$  

Ad.2)

$\sin x=0$  

$x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge x\in ⟨-2\pi ,2\pi ⟩$  

czyli 

$x\in \left\{-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi \right\}$  

Zatem z 1) i 2) otrzymaliśmy, że 

$\underline{\underline{x\in \left\{-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi \right\}}}$  

---

c)

$\frac{\sin x}{1-\sin \left(\pi -x\right)}+\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}{1+\sin x}=2,x\in ⟨-\pi ,\pi ⟩$  

Dziedzina:

$1-\sin \left(\pi -x\right)\ne 0\wedge 1+\sin x\ne 0$  

$1-\sin x\ne 0\sin x\ne -1$  

$\sin x\ne 1$  

czyli 

$\underline{x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}$  

Korzystając ze wzorów redukcyjnych sin(𝜋-𝛼)=sin𝛼  i cos(^𝜋/₂+𝛼)=-sin𝛼, mamy 

$\frac{\sin x}{1-\sin x}+\frac{-\sin x}{1+\sin x}=2$  

$\frac{\sin x\left(1+\sin x\right)}{\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)}+\frac{-\sin x\left(1-\sin x\right)}{\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)}=2$  

$\frac{\sin x+{\sin }^{2}x-\sin x+{\sin }^{2}x}{\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)}=2$  

$\frac{2{\sin }^{2}x}{1-{\sin }^{2}x}=2\mid :2$  

$\frac{{\sin }^{2}x}{1-{\sin }^{2}x}=1$  

Korzystając w mianowniku ułamka z "jedynki trygonometrycznej" mamy 

$\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1$  

${\mathrm{tg}}^{2}x=1$  

$\left|\mathrm{tg}x\right|=1$  

korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$\mathrm{tg}x=1\vee \mathrm{tg}x=-1$  

Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi 

Z wykresu funkcji tangens odczytujemy rozwiązania równania w przedziale <-𝜋, 𝜋>

$\underline{\underline{x\in \left\{-\frac{3\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right\}}}$   

---

d)

$\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)}{\mathrm{ctg}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)}-{\sin }^2\left(\frac{8x-\pi }{4}\right)=0,x\in \left(0,2\pi \right)$  

Dziedzina:

Cotangens musi być określony i musi przyjmować wartość różną od zera, czyli 

$2x-\frac{\pi }{4}\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge \mathrm{ctg}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\ne 0$  

$2x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}2x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}2x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne \frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

czyli 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{x:x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\vee x=\frac{3\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$  

Przekształcamy równanie korzystając ze wzoru cos(-𝛼)=cos𝛼 i mamy 

$\frac{\cos \left(-\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\right)}{\mathrm{ctg}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)}-{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=0$  

$\frac{\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)}{\mathrm{ctg}\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)}-{\sin }^2\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=0$  

użyjemy podstawienia 

$t=2x-\frac{\pi }{4}$  

wtedy równanie jest postaci 

$\frac{\cos t}{\mathrm{ctg}t}-{\sin }^{2}t=0$  

$\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}}-{\sin }^{2}t=0$  

$\sin t-{\sin }^{2}t=0$  

$\sin t\left(1-\sin t\right)=0$  

$\sin t=0\vee 1-\sin t=0$  

$\sin t=1$  

Ad.1)

$\sin t=0$  

$t=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

wracając do podstawienia mamy 

$2x-\frac{\pi }{4}=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$2x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

zauważmy, że liczby rzeczywiste tej postaci nie należą do dziedziny. 

Ad.2)

$\sin t=1$  

$t=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

zauważmy, że liczby rzeczywiste tej postaci nie należą do dziedziny. 

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).